Aufgabe Vorschlag C1.1 – Aufgabe 4 (4.1, 4.3) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · WTR (2022)

Aufgabenstellung

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden g:x⃗=(8−100)+t⋅(−314)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} Der Parameter tt beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei t=0t = 0. Der Erdboden liegt im Modell in der x1x_1-x2x_2-Ebene.

Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors v⃗=(10−2)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}

Material 4

Aufgabe 4.1 und 4.3

4.1

Erläutern Sie, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet. Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn.

°

4.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr 5,1 Metern zurücklegt, und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag C1.1 – Aufgabe 4 (4.1, 4.3) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

4.1 Erläutern Sie, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet.

Lösung: Für t=0t = 0 erhält man den Aufpunkt der Geraden gg als Startpunkt der Drohne. Da dieser die x3x_3-Koordinate 00 besitzt, startet die Drohne vom Erdboden. Da die x3x_3-Komponente des Richtungsvektors positiv ist (4>04 > 0), befindet sich die Drohne im Steigflug.

4.1 Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn.

Lösung: 52∘52^\circ / 51,6∘51{,}6^\circ

4.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr 5,1 Metern zurücklegt

Lösung: Der Betrag des Richtungsvektors entspricht der pro Sekunde zurückgelegten Strecke in Metern: ∣(−314)∣=(−3)2+12+42=26≈5,1\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{26} \approx 5{,}1

4.3 und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

Lösung: 18,3618{,}36 km/h / 18,418{,}4 km/h

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