Aufgabe Vorschlag B1 - 2 - Differentialrechnung · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.1

Ordnen Sie die Parameter $a = 1$ und $a = 2$ begründet jeweils einem der Graphen $u$, $v$ und $w$ in Material 2 zu.

Beschreiben Sie anhand von Material 2 die Bedeutung des Parameters $a$ für die Lage der Hochpunkte.

[6 BE]

Graph für $a = 1$:

Graph für $a = 2$:

2.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Wendestellen von $f_a$ gilt: $t_{1/2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4-a}{6}}$.

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die beiden Nullstellen bei $t = 0$ und $t = 2$ gleichzeitig auch die Wendestellen von $f_a$ sind.

[5 BE]

$a =$