Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 3 · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Sachzusammenhang: Umgehungsstraße bei Wetzlar

Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5 \mid 2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7 \mid 2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

Material: Kartenausschnitt

3 Gegeben ist die Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x) = 0{,}16 \cdot (t - 0{,}9) \cdot x^3 - 0{,}4 \cdot (t - 1) \cdot x^2 + 0{,}7 \cdot x,\; t \in \mathbb{R}$.

3.1

Zeigen Sie rechnerisch, dass man für den Wert $t = 2$ die Funktionsgleichung der Funktion $f$ aus Aufgabe 1.1 erhält.

[2 BE]

3.2

Falls die geplante Umgehungsstraße südlich des Punkts $P_3(1{,}75|1{,}25)$ verläuft, in der Abbildung im Material also zwischen $P_3$ und der x-Achse, kommt die Umgehungsstraße einem Wohngebiet zu nah oder durchquert es sogar, sodass eine Änderung des Straßenverlaufs notwendig wird.

Bestätigen Sie, dass dies bei Verwendung der Funktion $f_2$ der Fall ist.

Bestimmen Sie den Wert für den Parameter $t$, für welchen der Graph der zugehörigen Funktion der Schar durch den Punkt $P_3$ verläuft.

[5 BE]

3.3

Ermitteln Sie allgemein die Steigung der Graphen der Funktionenschar $f_t$ im Punkt $P_1(2{,}5|2)$.

Es soll diejenige Funktion der Schar $f_t$ als Modellfunktion für den ersten Abschnitt der Umgehungsstraße verwendet werden, deren Graph durch den Punkt $P_3$ verläuft.

Prüfen Sie, ob am Anschlusspunkt $P_1$ der Übergang zum zweiten Abschnitt der Umgehungsstraße weiterhin knickfrei verläuft.

[5 BE]

3.4

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters $t$, für welche bei Verwendung von Funktionen der Schar $f_t$ als Modellfunktionen für den ersten Abschnitt der Umgehungsstraße die Umgehungsstraße im Anschlusspunkt $P_1$ linksgekrümmt ist.

[4 BE]