Aufgabe B1 - 1 (Differentialrechnung) · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2021

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern. Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der x-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0 \le x \le 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{1 - \frac{1}{4}x}$$ beschrieben (Material 1). Für $20 \le x \le x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20 \mid f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

Material 1: Der alte Deich

1.1

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Tangente $t$.

Zeigen Sie, dass der Deich eine Breite von $25\text{ m}$ besitzt.

Zeichnen Sie die Tangente im Bereich $20 \le x \le x_N$ in das Koordinatensystem im Material 1.

$\left[\text{zur Kontrolle: } t(x) = -\frac{3}{e^4}\cdot x + \frac{75}{e^4}\right]$

1.2

Berechnen Sie den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs. Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist hierbei ausreichend.

Beschriften Sie die y-Achse im Koordinatensystem im Material 1 mit einer geeigneten Skalierung.

$x =$

$y =$