Aufgabe B2 - 1 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2021

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$, $a > 0$, $k > 0$.

1.1

Zeigen Sie, dass sich der Term der ersten Ableitung der Funktionenschar $f_{a;k}$ in der Form $f_{a;k}'(x) = a \cdot x \cdot (2 - k \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ darstellen lässt, und geben Sie die verwendeten Ableitungsregeln an. (5 BE)

1.2

Bestätigen Sie, dass jeder Graph der Schar $f_{a;k}$ einen Tiefpunkt in $T(0|0)$ und einen Hochpunkt in $H\left(\frac{2}{k}\;\middle|\;\frac{4a}{k^2 \cdot \mathrm{e}^2}\right)$ hat, wobei die zweite Ableitung $f_{a;k}''(x) = a \cdot (k^2 \cdot x^2 - 4 \cdot k \cdot x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ ohne Nachweis verwendet werden darf. Begründen Sie, dass für einen festen Wert von $k$ alle Hochpunkte auf einer Parallelen zur y-Achse liegen. (7 BE)

1.3

Für einen festen Wert von $a$ liegen alle Hochpunkte auf einer Parabel mit der Gleichung $p_a(x) = \frac{a}{\mathrm{e}^2} \cdot x^2$. Leiten Sie diese Gleichung her und skizzieren Sie die Parabel für $a = 1$ in der Abbildung in Material 1. (5 BE)

1.4

Berechnen Sie die Werte der Parameter $a$ und $k$ für diejenige Funktion der Schar $f_{a;k}$, deren Graph bei $x = 10$ seinen Hochpunkt hat, und die an der Stelle $x = 2$ den Funktionswert $828$ annimmt. (3 BE)