Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2021

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern. Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der x-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0 \le x \le 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{1 - \frac{1}{4}x}$$ beschrieben. Für $20 \le x \le x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20 \mid f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

1.1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente $t$.

Zeigen Sie, dass der Deich eine Breite von $25\text{ m}$ besitzt.

Zeichnen Sie die Profillinie des gesamten Deichs in ein geeignetes Koordinatensystem.

zur Kontrolle:

$t(x) = -\frac{3}{\mathrm{e}^4}\cdot x + \frac{75}{\mathrm{e}^4}$

1.2

Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs.

und $y$ =