Aufgabe B1 - 2 (Differentialrechnung) · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2021

2.1 Geben Sie an, welchen Einfluss der Parameter k auf die Höhe und auf die Breite des neuen Deichs besitzt. Berücksichtigen Sie dabei auch die Lage der Nullstellen.

Lösung: Der Deich ist umso höher, je größer der Parameter k ist. Auf die Breite des Deiches hat der Parameter k keinen Einfluss, da die Lage der Nullstellen ($x_{N_1} = 0$, $x_{N_2} = 25$) unabhängig vom Parameter k ist.

2.1 Berechnen Sie, wie der Parameter k gewählt werden muss, damit der neue Deich höher als 3 m ist.

Lösung: $k > \frac{162}{125}$ / $k > 1{,}30$

2.2 Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionenschar gk unabhängig vom Parameter k einen Wendepunkt an der Stelle xw = 50/3 besitzen.

Lösung: $g_k(x) = \frac{k}{1000}\cdot x^3 - \frac{k}{20}\cdot x^2 + \frac{5\cdot k}{8}\cdot x$, $g'_k(x) = \frac{3\cdot k}{1000}\cdot x^2 - \frac{k}{10}\cdot x + \frac{5\cdot k}{8}$, $g''_k(x) = \frac{3\cdot k}{500}\cdot x - \frac{k}{10}$. Notwendige Bedingung: $g''_k(x) = 0 \Rightarrow x_\mathrm{W} = \frac{50}{3}$. Hinreichende Bedingung: $g'''_k\left(\frac{50}{3}\right) = \frac{3\cdot k}{500} > 0$ (da $k > 0$).

2.3 Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters k der Graph der Funktionenschar gk die Bedingung |alpha| = 30° an der steilsten Stelle des (flussseitigen) Deichprofils erfüllt. (Berechnungsweg)

Lösung: Steigung an der Wendestelle berechnen: $g'_k\left(\frac{50}{3}\right) = -\frac{5}{24}k$. Es gilt $|g'_k(x_\mathrm{W})| = \tan(30^\circ) \Rightarrow \frac{5}{24}k = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow k \approx 2{,}77$.

2.3 Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters k der Graph der Funktionenschar gk die Bedingung |alpha| = 30° an der steilsten Stelle des (flussseitigen) Deichprofils erfüllt. (Wert von k)

Lösung: $2{,}77$ / $\frac{8\sqrt{3}}{5}$