Ejercicios de Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas

26 ejercicios de Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Castilla y León (PAU/EBAU)…

Problema 3A · Extraordinaria 2026

Dado el plano π ≡ x + y = 0, el punto A(1,-1,0) y la recta s ≡ x = y = z. Hallar la recta r, en su forma paramétrica, que pasa por A, está contenida en π, y corta a la recta s.

Problema 3B · Extraordinaria 2026

A(1,1,1) y B(0,2,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD cuyo centro es E(0,0,1). a) Hallar los otros vértices C y D. b) Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. c) Hallar el volumen del tetraedro ABEO, con O(0,0,0).

Problema 3 - a) y b) · Ordinaria 2026

Dados pi_1: 2x - 3y + z = a y pi_2 determinado por P(0,2,4) y vectores directores v1=(0,2,6) y v2=(1,0,b), se pide: a) Calcular a y b para que pi_1 y pi_2 sean paralelos y distintos. b) Para a=1 y b=0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de pi_1 y pi_2.

Problema 3A · Extraordinaria 2025

Problema 3A: Sean el plano π ≡ 5x + my + z = 2 y la recta r ≡ (x,y,z) = (1,1,0) + t(-1,-1,2), t ∈ ℝ. a) Determinar la posición relativa de r y π en función de m. b) Para m = 1, calcular el plano π' que contiene a r y es perpendicular a π.

Ejercicio 3B b) - Rectas y planos · Extraordinaria 2025

Calcular la ecuación de un plano π'' perpendicular al plano π ≡ x + y - z = 2 y que pasa por los puntos P(1,0,1) y Q(0,1,0).

Problema 3A · Ordinaria 2025

Comprobar que r y s se cortan para cualquier valor de m y hallar el punto de intersección para m = 6.

Problema 3B · Ordinaria 2025

Operaciones vectoriales con u = (3,-1,5): hallar 'a' para t perpendicular a u, vector w perpendicular a u y v=(2,6,0), y volumen del paralelepípedo formado por u, v y w=(-3,1,2).

Ejercicio E3 · Extraordinaria 2024

Determinar la posición relativa de la recta r y el plano π, y hallar la recta perpendicular a r y contenida en π que pasa por P(1,1,1).

Ejercicio E4 · Extraordinaria 2024

Determinar el plano que pasa por P(1,1,2) y Q(3,-1,1) y es paralelo a la recta r: x - 1 = y = z.

Ejercicio E3 · Extraordinaria (Fase Mejora de Nota) 2024

Calcular las ecuaciones paramétricas, continua e implícita de la recta s que pasa por el punto A(1,-2,2) y es paralela a la recta r dada como intersección de planos 2x - y + z = 8 y x - y + 2z = 9.

Ejercicio E4 · Extraordinaria (Fase Mejora de Nota) 2024

Dado el plano π: 3x + 3y + mz = 3 y la recta r dada por 2x - y + 3z = 1 y x - y = 2, determinar m para que recta y plano sean a) perpendiculares y b) paralelos.

Ejercicio E4 · Ordinaria 2024

Determinar k para que las rectas r1 y r2 sean paralelas y, para k = 2, hallar el plano que las contiene.

Ejercicio E3 · Ordinaria (Fase Mejora de Nota) 2024

Dados el plano π: 2x + y = 3 y la recta r dada en paramétricas con x = λ, y = 1 - 2λ, z = 1: a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a π que contenga a r. b) Determinar si existe algún plano paralelo a π que contenga a r y, en caso afirmativo, calcularlo.

Ejercicio E4 · Ordinaria (Fase Mejora de Nota) 2024

Dadas dos rectas r y s con parámetro a: a) Encontrar a ∈ ℝ para que sean paralelas. b) Para a = 9, calcular la ecuación del plano que las contiene.

Ejercicio E3 · Extraordinaria 2023

E3.- (Geometría) Dadas r1 y r2: a) Razonar si existe un plano perpendicular a r2 que contenga a r1. b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de r1 y r2 que contiene al punto (1,0,0).

Ejercicio E4 - Rectas y planos · Extraordinaria 2023

E4.- (Geometría) Sea r la recta que pasa por (1, 0, -1) y (0, 1, 1). a) Determinar el plano que contiene a la recta r y al punto P = (0, 0, 1).

Ejercicio E3 · Ordinaria 2023

Calcular la ecuación del plano perpendicular a σ ≡ x + 2y + 3z = 0 y que pasa por P(0,0,0) y Q(0,1,1).

Ejercicio E4. a) - Posición relativa · Ordinaria 2023

Comprobar que la recta r: x/(-2) = (y-4)/2 = (z-1)/1 es paralela al plano π: x + 2y - 2z = 0.

Ejercicio E3 · Extraordinaria 2022

Calcular la ecuación del plano que pasa por (1,0,1) paralelo a (1,1,1) y (1,2,3). Calcular el plano paralelo a 3x + 2y + 2z + 1 = 0 que pasa por (1,2,3).

Ejercicio E4 · Extraordinaria 2022

Hallar las ecuaciones de la recta contenida en x - y = 0, paralela a 2x - 3y + z = 4 que pasa por P(1,1,3). Hallar el plano paralelo a la recta dada que pasa por A(0,3,1) y B(-2,1,-1).

Ejercicio E3 · Ordinaria 2022

E3: a) Dada la recta r: (x-1)/2 = (y+2)/1 = (z+1)/4 y el plano π: 2x + y + mz = 0, calcule m para que recta y plano sean perpendiculares. b) Calcule el plano perpendicular a π: x + y + z = 1 y π1: x - y + z = 2 que pasa por (1,2,3).

Ejercicio E4.a - Rectas y planos · Ordinaria 2022

Considere el punto P = (2,2,1) y el plano π ≡ 2x + 3y - 3z + 6 = 0. Apartado a: Halle la recta que pasa por P y es perpendicular a π.

Ejercicio E3 · Extraordinaria 2021

Dadas las rectas r ≡ x = y + 1 = (z - 2)/2 y s ≡ { x - y + 3 = 0, 2x - z + 3 = 0 }, se pide: a) Determinar la posición relativa de r y s. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y s.

Ejercicio E4 · Extraordinaria 2021

Dada la recta r: x - 1 = (y - 2)/(-1) = (z - 1)/2, calcular el plano π_1 perpendicular a r por A(1,2,3) y el plano π_2 que contiene a r y pasa por B(-1,1,-1).

Ejercicio E3.a - Rectas y planos · Ordinaria 2021

Hallar la recta perpendicular al plano π ≡ x + y + z = 1 que pasa por el punto A = (0,0,0).

Ejercicio E4 · Ordinaria 2021

Dados la recta r = (x+1)/(-1) = (y-2)/1 = z/(-2) y el punto P = (0,0,0), hallar la ecuación del plano pi que contiene a r y pasa por el punto P.

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