Ejercicio E4. a) - Posición relativa · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2023

Tema: Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas · Del examen Ordinaria (2023)

Enunciado

Dados el plano π≡x+2y−2z=0\pi \equiv x + 2y - 2z = 0 y la recta r≡x−2=y−42=z−11r \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-1}{1}:

a)

Comprobar que rr es paralela a π\pi. (1 punto)

Enunciado: Ejercicio E4. a) - Posición relativa · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Comprobar que r es paralela a π.

Solución: El vector director de la recta v⃗r=(−2,2,1)\vec{v}_r = (-2, 2, 1) y el vector normal del plano n⃗π=(1,2,−2)\vec{n}_\pi = (1, 2, -2) son ortogonales ya que v⃗r⋅n⃗π=(−2)(1)+(2)(2)+(1)(−2)=−2+4−2=0\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-2)(1) + (2)(2) + (1)(-2) = -2 + 4 - 2 = 0. Además, tomando un punto de la recta P(0,4,1)P(0, 4, 1), sustituyendo en el plano se obtiene 0+2(4)−2(1)=6≠00 + 2(4) - 2(1) = 6 \neq 0, por lo que P∉πP \notin \pi. En consecuencia, la recta rr es estrictamente paralela al plano π\pi.

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