Ejercicio E4 · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2024

Tema: Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas · Del examen Ordinaria (2024)

Enunciado

E4.- (Geometría)

Dadas las rectas:

r1≡{x=1y=ktz=k−2t,t∈R,yr2≡{x+2y+2z=−1x+y+z=kr_1 \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = kt \\ z = k - 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}, \qquad y \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ x + y + z = k \end{cases}

a)

Determinar los valores del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R} para los que las dos rectas son paralelas.

b)

Para k=2k = 2 ¿Existe algún plano que contenga a las rectas r1r_1 y r2r_2? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan.

Sí

No

Enunciado: Ejercicio E4 · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Valor de k para el que las rectas son paralelas

Solución: 2

a) Justificación del valor de k

Solución: v1 = (0, k, -2) proporcional a v2 = (0, 1, -1) => k/1 = -2/(-1) => k = 2

b) ¿Existe algún plano que contenga a las rectas r1 y r2?

Solución: Sí

b) Ecuación del plano que contiene a r1 y r2 para k = 2

Solución: y + z - 2 = 0 / 2y + 2z - 4 = 0

b) Justificación de la existencia y obtención del plano

Solución: Por ser rectas paralelas no coincidentes determinan un único plano. Mediante el haz de planos que contiene a r2 e imponiendo que pase por P1(1, 0, 2), o mediante vectores directores.

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