Pregunta 4 · Matemáticas II UPC Juny 2022

a) [0,75 punts] La longitud de la circumferència de radi $r$ és igual a $2\pi r$.

Solución: Es pot justificar per qualsevol dels tres mètodes següents (tots tres plenament vàlids): Mètode 1 (Coordenades cartesianes): Considerem la circumferència centrada a l'origen $x^2 + y^2 = r^2$. La semicircumferència superior en el primer quadrant ve donada per $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ amb $x \in [0,r]$. La seva derivada és $y' = -\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$. La longitud total és 4 vegades aquest arc: $$L = 4\int_0^r \sqrt{1 + (y')^2}\,dx = 4\int_0^r \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2-x^2}}\,dx = 4\int_0^r \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx = 4r\left[\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\right]_0^r = 4r \frac{\pi}{2} = 2\pi r$$ Mètode 2 (Parametrització): Amb $x(t) = r\cos t$, $y(t) = r\sin t$ per a $t \in [0, 2\pi]$: $$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-r\sin t)^2 + (r\cos t)^2}\,dt = \int_0^{2\pi} r\,dt = 2\pi r$$ Mètode 3 (Coordenades polars): L'equació és $\rho(\theta) = r$ per a $\theta \in [0, 2\pi]$. Com que $\rho'(\theta) = 0$: $$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\rho^2 + (\rho')^2}\,d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + 0}\,d\theta = r\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi r$$

b) [0,75 punts] El volum d'un con recte de revolució amb alçada $h$ i radi de la base $r$ és $\frac{\pi}{3} h r^2$.

Solución: El con s'obté en girar al voltant de l'eix $OY$ el triangle rectangle delimitat pels vèrtexs $(0,0)$, $(r,0)$ i $(0,h)$. La recta que uneix $(r,0)$ i $(0,h)$ té per equació: $$y = h - \frac{h}{r}x \iff x = \frac{r}{h}(h - y)$$ Integració respecte de $y$ (discs): $$V = \int_0^h \pi x^2\,dy = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}(h - y)\right)^2 dy = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h (h^2 - 2hy + y^2)\,dy$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\left[h^2 y - h y^2 + \frac{y^3}{3}\right]_0^h = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(h^3 - h^3 + \frac{h^3}{3}\right) = \frac{\pi}{3}hr^2$$ Integració respecte de $x$ (tubs cilíndrics): $$V = \int_0^r 2\pi x y\,dx = 2\pi \int_0^r x\left(h - \frac{h}{r}x\right)dx = 2\pi h \int_0^r \left(x - \frac{x^2}{r}\right)dx$$ $$V = 2\pi h \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3r}\right]_0^r = 2\pi h\left(\frac{r^2}{2} - \frac{r^2}{3}\right) = 2\pi h\frac{r^2}{6} = \frac{\pi}{3}hr^2$$