Examen de Matemáticas II UPC 2022 · Primer control d'avaluació continuada - 8 de novembre de 2022

Exercici 1 (2 punts). Trapezi rectangle i semicercle

Es considera la figura geomètrica plana formada a partir d'un trapezi rectangle en el qual s'ha reemplaçat un dels seus costats oblics per un semicercle, tal com s'il·lustra a continuació:

a.

[0,5 pts.] Calculeu el valor de l'angle $\alpha = \widehat{BCD}$.

b.

[0,5 pts.] Trobeu la longitud del segment $\overline{BD}$.

c.

[0,5 pts.] Determineu l'àrea total compresa per la figura.

d.

[0,5 pts.] Suposant que les cotes indicades a l'esquema estan expressades en centímetres i corresponen a un plànol dibuixat a escala 1:200, calculeu l'àrea real de la figura en metres quadrats.

m²

Considereu la representació gràfica tridimensional de la funció definida com $f(x, y) = |xy|$:

b.

(0,5 pts.) Realitzeu un esquema gràfic de les corbes de nivell corresponents als valors $k = 0$, $k = 1$ i $k = 2$.

Considereu la representació gràfica tridimensional de la funció definida com $f(x, y) = |xy|$:

a.

[0,5 pts.] Determineu de manera raonada el conjunt de punts on la funció $f(x,y)$ és diferenciable.

c.

[0,5 pts.] Calculeu, si existeixen, les següents derivades:

d.

[0,5 pts.] Sobre el gràfic de les corbes de nivell, assenyaleu les direccions de màxim creixement, mínim creixement i creixement nul al punt $(1,1)$:

Exercici 3. Estudi de la funció $f(x,y) = 1 + \sin(x^2 + y^2)$

Es considera la funció escalar de dues variables definida per:

$$f(x, y) = 1 + \sin(x^2 + y^2)$$

a.

(0,5 pts.) Indiqueu el domini i el recorregut d'aquesta funció.

b.

(0,5 pts.) Representeu de forma esquemàtica, si existeixen, les corbes de nivell corresponents a $k = -1$, $k = 0$ i $k = 1$.

Exercici 3. Estudi de la funció $f(x,y) = 1 + \sin(x^2 + y^2)$

Es considera la funció escalar de dues variables definida per:

$$f(x, y) = 1 + \sin(x^2 + y^2)$$

c.

(0,5 pts.) Determineu la direcció de màxim creixement de la funció en el punt $(2,1)$, així com el valor de la derivada direccional en aquesta direcció.

$\nabla f(2,1) = ($, $)$

Exercici 3. Estudi de la funció $f(x,y) = 1 + \sin(x^2 + y^2)$

Es considera la funció escalar de dues variables definida per:

$$f(x, y) = 1 + \sin(x^2 + y^2)$$

d.

(0,5 pts.) Escriviu les equacions del pla tangent i de la recta normal a la gràfica de la funció en el punt $(2,1)$.

$z =$

$x - 2$

$=$ $y - 1$

$=$ $z -$

$-1$

Exercici 4 (2 punts). Extrems condicionats i punt més proper

Es desitja trobar el punt de la corba plana definida per l'equació $y^2 = x^3 - x + 6$ que es troba a distància mínima de l'origen de coordenades.

a.

(0,5 pts.) Formuleu aquest problema com un problema d'extrems condicionats, especificant clarament la funció objectiu i la funció de restricció.

b.

(1,5 pts.) Resoleu el problema trobant la solució òptima. (Recordeu que podeu cercar arrels enteres d'un polinomi entre els divisors del seu terme independent).

$x =$

$y =$