Examen de Matemáticas II UPC 2022 · Juny

Exercici 1 (1,5 punts). Resolució d'un triangle i càlcul d'àrea

Considerem el triangle $ABC$ representat a la figura següent, on el punt $B'$ divideix el segment base $a$ en dos trossos, $a_1$ i $a_2$. Suposant que es coneixen les dades $a_2 = 2.5\text{ m}$, $c' = \overline{AB'} = 2\text{ m}$, l'angle $\hat{C} = 30^\circ$ i $\hat{A}_2 = \widehat{B'AB} = 45^\circ$, determineu:

a)

[0.5 punts] Els valors dels angles $\hat{A}$ i $\hat{B}$ del triangle $ABC$.

b)

[0.5 punts] La longitud dels tres costats del triangle $ABC$.

c)

[0.5 punts] L'àrea total del triangle $ABC$.

Exercici 2 (2 punts). Estudi de quàdrica, domini, corbes de nivell i pla tangent

Es demana resoldre les següents qüestions:

a.

[0.25 punts] Classifiqueu la superfície quàdrica d'equació $\frac{z^2}{25} + \frac{x^2}{9} = 1 - \frac{y^2}{16}$. Indiqueu quines corbes s'obtenen en intersecar-la amb cadascun dels tres plans coordenats i descriviu els seus elements característics.

e.

[0.5 punts] Determineu el punt $Q$ sobre la gràfica de $f(x,y) = 5\sqrt{1 - \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16}}$ en el qual el pla tangent és completament horitzontal.

Exercici 2 (2 punts). Estudi de quàdrica, domini, corbes de nivell i pla tangent

Es demana resoldre les següents qüestions:

b.

[0.25 punts] Donada la funció $f(x,y) = 5\sqrt{1 - \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16}}$, trobeu el seu domini i el seu recorregut. Feu un esbós gràfic del domini en el pla.

c.

[0.5 punts] Trobeu les equacions i feu un esquema de les corbes de nivell per a $k = 0, 3, 5\text{ i }7$ (si existeixen). En el cas que alguna no existeixi, justifiqueu-ne el motiu.

Exercici 2 (2 punts). Estudi de quàdrica, domini, corbes de nivell i pla tangent

Es demana resoldre les següents qüestions:

d.

[0.5 punts] Sobre la representació del domini de l'apartat anterior, situeu el punt $P = \left(\frac{12}{5}, 0\right)$, indiqueu a quina corba de nivell pertany i dibuixeu el vector que assenyala la direcció de màxim creixement en aquest punt.

k =

Exercici 3 (1,5 punts). Optimització amb multiplicadors de Lagrange d'un rectangle inscrit

Fent ús del mètode dels multiplicadors de Lagrange, determineu les dimensions del rectangle de màxima àrea que es pot inscriure dins l'el·lipse d'equació:

$$\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$$

Exercici 4 (1,5 punts). Càlcul d'àrea d'el·lipse i volum d'esfera amb integrals simples

Mitjançant una integral simple en cada cas, calculeu:

a)

[0.75 punts] L'àrea de la regió delimitada per l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.

b)

[0.75 punts] El volum d'una esfera de radi $r$.

Exercici 5 (1,5 punts). Resolució d'una equació diferencial lineal de primer ordre

Es considera la següent equació diferencial:

$$y' + \tan(x)\,y = \sin(x)\cos(x)$$

a)

[0.25 punts] Classifiqueu el tipus d'equació diferencial i indiqueu quin és el seu ordre.

b)

[0.5 punts] Trobeu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada $y_h(x)$ (useu $k$ o $C$ com a constant):

c)

[0.5 punts] Empreu el mètode de variació de les constants per trobar una solució particular de l'equació no homogènia $y_p(x)$:

d)

[0.25 punts] Escriviu la solució general de l'equació diferencial completa $y(x)$ (amb constant $k$ o $C$):

Exercici 6 (2 punts). Integral doble i canvi d'ordre d'integració

Donada la següent integral doble:

$$\int_0^4 \int_{\sqrt{x}}^2 \frac{1}{\sqrt{x + y^2}}\,dy\,dx$$

a)

[0.5 punts] Descriviu geomètricament i dibuixeu la regió d'integració $D$ en el pla cartesià.

b)

[1.5 punts] Calculeu el valor de la integral efectuant un canvi en l'ordre d'integració.