Pregunta 5 · Matemáticas II UPC Juny 2022

a. [0,5 punts] Trobeu la solució general de l'equació homogènia associada.

Solución: $y_h(x) = k e^{-x^2}$

b. [0,5 punts] Determineu una solució particular de l'equació no homogènia mitjançant el mètode de variació de les constants.

Solución: $y_p(x) = -\frac{1}{2} e^{-2x^2}$

c. [0,25 punts] Escriviu la solució general completa de l'equació diferencial.

Solución: $y(x) = k e^{-x^2} - \frac{1}{2} e^{-2x^2}$

d. [0,25 punts] Raoneu si existeix una solució particular que compleixi simultàniament les condicions inicials y(0) = 1 i y'(0) = 0. Raonament sobre l'existència:

Solución: Sí que existeix, ja que imposant $y(0) = 1$ s'obté $k = 3/2$, i per a aquest valor de $k$ la derivada $y'(0) = -2(0)e^0 + 2(0)e^0 = 0$ es verifica automàticament.

d. En cas afirmatiu, trobeu aquesta solució.

Solución: $y(x) = \frac{3}{2} e^{-x^2} - \frac{1}{2} e^{-2x^2}$ / $y(x) = \frac{1}{2} e^{-x^2}(3 - e^{-x^2})$