Examen de Matemáticas II UPC 2022 · Juny

Pregunta 1 (1,5 punts). Geometria de sectors circulars

Es consideren dos sectors circulars: el sector $\widehat{AOB}$ amb centre en $O$, radi $r = 1\text{ m}$ i angle $\alpha = 45^\circ$, i el sector $\widehat{A'O'B}$ de centre $O'$, radi $r'$ i angle $\alpha'$, tal com s'il·lustra a l'esquema:

Sabent que la separació entre $A$ i $A'$ val $a = 0{,}15\text{ m}$, determineu:

a)

La distància $d$ entre els dos centres $O$ i $O'$.

b)

El valor del radi $r'$ així com el de l'angle $\alpha'$.

c)

La superfície de la regió pintada $AA'B$.

Pregunta 2. Quàdriques, corbes de nivell i derivació multivariable

Es considera la quàdrica d'equació $z^2 = 25 - x^2 + y^2$.

Es defineix la funció escalar:

$$f(x,y) = \sqrt{25 - x^2 + y^2}$$

Pregunta 2 (apartats quàdrica, d i e). Quàdriques i pla tangent

a.

Classifiqueu la quàdrica d'equació $z^2 = 25 - x^2 + y^2$. Quines còniques s'obtenen en intersectar-la amb els tres plans de coordenades?

d.

Determineu l'equació de la recta tangent a la corba de nivell de $f(x,y)$ en el punt $(5,-5)$.

e.

Trobeu l'equació del pla tangent al graf de $f$ en el punt $(5,-5,f(5,-5))$.

Pregunta 2. Quàdriques, corbes de nivell i derivació multivariable

Es considera la quàdrica d'equació $z^2 = 25 - x^2 + y^2$.

Es defineix la funció escalar:

$$f(x,y) = \sqrt{25 - x^2 + y^2}$$

Pregunta 2 (apartats a i b). Domini, recorregut i corbes de nivell

a.

Trobeu el domini i el recorregut de la funció $f(x,y) = \sqrt{25 - x^2 + y^2}$.

b.

Escriviu les equacions de les corbes de nivell associades a $k = 3$, $k = 5$ i $k = 7$:

Feu un esbós gràfic de les corbes de nivell, indicant la corba que passa pel punt $(5,-5)$ i dibuixeu la direcció de màxim creixement en aquest punt:

Pregunta 2. Quàdriques, corbes de nivell i derivació multivariable

Es considera la quàdrica d'equació $z^2 = 25 - x^2 + y^2$.

Es defineix la funció escalar:

$$f(x,y) = \sqrt{25 - x^2 + y^2}$$

Pregunta 2 (apartat c). Derivades parcials i direccionals

c.

Calculeu les derivades parcials de $f$ i la derivada direccional en el punt $(5,-5)$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (1,1)$.

Pregunta 3 (1,5 punts). Punts crítics i matriu hessiana

Sigui la funció de dues variables $f(x,y) = x y e^{x+2y}$.

a.

[0,75 punts] Localitzeu tots els punts crítics de la funció.

$x_1 =$

$y_1 =$

$x_2 =$

$y_2 =$

b.

[0,75 punts] Determineu la naturalesa de cadascun d'aquests punts crítics (extrems relatius o punts de sella).

Pregunta 4 (1,5 punts). Aplicacions de la integral simple: longitud i volum

Justifiqueu mitjançant una integral simple les següents fórmules geomètriques:

a)

[0,75 punts] La longitud de la circumferència de radi $r$ és igual a $2\pi r$.

b)

[0,75 punts] El volum d'un con recte de revolució amb alçada $h$ i radi de la base $r$ és $\frac{\pi}{3} h r^2$.

Pregunta 5 (1,5 punts). Equació diferencial lineal de primer ordre

Considereu l'equació diferencial:

$$y' + 2xy = x e^{-2x^2}$$

a.

[0,5 punts] Trobeu la solució general de l'equació homogènia associada.

b.

[0,5 punts] Determineu una solució particular de l'equació no homogènia mitjançant el mètode de variació de les constants.

c.

[0,25 punts] Escriviu la solució general completa de l'equació diferencial.

d.

[0,25 punts] Raoneu si existeix una solució particular que compleixi simultàniament les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 0$. En cas afirmatiu, trobeu aquesta solució.

Pregunta 6 (2 punts). Integral doble mitjançant canvi de variable

Calculeu la integral doble següent:

$$\iint_A \sin(x + 2y)\cos(x - 2y)\,dx\,dy$$

on $A$ és el domini pla situat en el primer quadrant limitat per la recta $x + 2y = 2\pi$ i els eixos de coordenades cartesianes.