Abitur NRW Mathematik 2018 · GK · Teil A · Lineare Algebra

1 Aufgabe

Gegeben ist die Matrix $A = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

a

Betrachtet wird außerdem eine Matrix $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ mit $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie die Werte von $a$, $b$, $c$ und $d$ so, dass $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ gilt.

b

Für eine Matrix $C$ kann das Produkt $C \cdot A$, nicht jedoch das Produkt $A \cdot C$ gebildet werden. Beschreiben Sie alle möglichen Formen von $C$.

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Die Tiere werden in ihrem ersten Lebensjahr als Jungtiere bezeichnet, im zweiten als heranwachsende Tiere und ab dem dritten als erwachsene Tiere.

Die Zusammensetzung der Population kann durch einen Vektor $\begin{pmatrix} J \\ H \\ E \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $J$ die Anzahl der Jungtiere, $H$ die Anzahl der heranwachsenden Tiere und $E$ die Anzahl der erwachsenen Tiere bezeichnet. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten lässt sich durch die Matrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 200 \\ 0{,}05 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}1 & 0 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = P \cdot \vec{v}_n$ beschreiben.

a)

Geben Sie an, wieviel Prozent der Jungtiere das erste Lebensjahr nicht überleben. [1 BE]

%

b)

Berechnen Sie $P^2$ und beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $P^2 \cdot \vec{v}_n$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

c)

Es gilt $P^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang. [2 BE]

1 Aufgabe

a

Für die Matrizen $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ mit $b \in \mathbb{R}$ gilt:

$$A^2 + 2 \cdot A \cdot B + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 + 3b \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}$$

Die Gleichung $(A + B)^2 = A^2 + 2 \cdot A \cdot B + B^2$ ist nur für einen Wert von $b$ erfüllt. Bestimmen Sie diesen Wert von $b$. [3 BE]

$b =$

b

Für die 2x2-Matrizen $C$ und $D$ gilt $C \cdot D = -D \cdot C$. Stellen Sie den Term $(C + D)^2$ als Summe dar und vereinfachen Sie diese Summe so weit wie möglich. [2 BE]

$(C + D)^2 =$