Exame Nacional Matemática A 2026 · 2.ª fase

1. Para certos números reais $a$ e $b$ ($a > 1$ e $b > 0$), tem-se $\log_a(b^2) = 16$.

Qual é o valor de $\log_a\left(\frac{a}{b}\right)$?

2. Seja $f$ uma função real, de domínio $\mathbb{R}^+$, cuja derivada, $f'$, de domínio $\mathbb{R}^+$, é definida por $$f'(x) = \frac{1 + 2\ln x}{x}$$

Resolva os itens 2.1. e 2.2. sem recorrer à calculadora.

2.1.

Estude a função $f$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente o desenvolvimento analítico: cálculo de $f''(x)$, zeros, quadro de sinal e concavidades, e conclusões.

2.2.

Considere, em referencial o.n. $xOy$, as retas $r$ e $s$. Sabe-se que:

a reta $r$ é tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $A$, de coordenadas $(e, 2)$;

a reta $s$ é perpendicular à reta $r$ e intersecta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $-3$;

a reta $s$ intersecta o eixo $Oy$ no ponto $B$.

Determine a área do triângulo $[AOB]$.

Seja $E$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset E$ e $B \subset E$), tais que $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}4$.

Qual é o valor de $P(A \cup B)$?

Admita que o preço de uma refeição, numa cantina, pode ser modelado por uma variável aleatória com distribuição normal, de valor médio $7$ euros.

A probabilidade de, nessa cantina, se pagar por uma refeição mais do que $9$ euros é igual a $12\%$.

A Carla almoçou nessa cantina.

Qual é a probabilidade de a Carla ter pagado, pela refeição, um valor entre $7$ e $9$ euros?

4. O Instituto Nacional de Estatística (INE) realiza, de forma periódica, o Inquérito às Despesas das Famílias, o qual permite analisar o modo como os agregados familiares portugueses distribuem as suas despesas.

Na tabela seguinte, apresentam-se as percentagens da despesa anual média associadas à habitação e à alimentação, em relação à despesa total anual média por agregado familiar, em seis anos do período entre 1989 e 2023.

Ano · Despesa anual média em habitação (%)

($x$) · Despesa anual média em alimentação (%)

($y$)

1989/1990 · 12,4 · 29,5

1994/1995 · 20,6 · 21,0

2005/2006 · 26,6 · 15,5

2010/2011 · 29,2 · 13,3

2015/2016 · 31,9 · 14,3

2022/2023 · 39,0 · 12,9

Fonte: www.ine.pt (consultado em setembro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

O desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à habitação é ao desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à alimentação.

De acordo com dados do INE, em 2022/2023, a despesa anual média associada à alimentação foi $3121$ euros. Considerando os dados da tabela, em 2022/2023, a despesa anual média associada à habitação, arredondada às unidades, foi euros.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$, apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é.

Em 2000, a despesa anual média associada à habitação foi $19,8\%$ da despesa total anual média. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$, e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, estima-se que a percentagem da despesa anual média associada à alimentação, em relação à despesa total anual média, em 2000, foi, aproximadamente, (valor arredondado às décimas).

5. Considere todos os números naturais com cinco algarismos diferentes.

Determine quantos destes números são múltiplos de $5$ e maiores do que $50\;000$.

6. Numa caixa, estão vários cartões. Cada cartão está numerado com um número inteiro positivo.

Relativamente aos números inscritos nesses cartões, sabe-se que:

$62{,}5\%$ são múltiplos de três;

um terço dos que não são múltiplos de três são pares.

Selecionou-se, ao acaso, um cartão dessa caixa.

Determine a probabilidade de esse cartão estar numerado com um múltiplo de três ou com um número ímpar.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

7.(AE2018) Considere a sucessão $(u_n)$ definida por

$$u_n = \frac{3n+5}{n+2}$$ Estude a sucessão $(u_n)$ quanto à monotonia.

7.(AE2023) Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^2 e^x - \frac{1}{2}$.

A função $f$ é contínua e tem exatamente um zero no intervalo $]-2, 0[$.

Determine, pelo método de Newton-Raphson, a aproximação desse zero obtida na primeira iteração, partindo do valor inicial $x_0 = -1$.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais.

8. Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[ABCDEFGH]$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(-3, 5, 2)$;

o plano $BCF$ é definido pela equação $-3x + 6y - 2z + 14 = 0$.

8.1.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

8.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine o volume do cubo $[ABCDEFGH]$.

Na Figura 2, está representado, em referencial o.n. $Oxy$, o retângulo $[ABCD]$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(2, 0)$;

o ponto $D$ pertence ao eixo $Oy$;

a reta $BC$ é definida pela equação reduzida $y = -2x + 5$.

Determine as coordenadas do ponto $C$.

Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, contínua e diferenciável.

Sabe-se que:

$f(0) = 2$;

$f(1) \times f(2) < 0$;

$f'(x) < 0$, para qualquer $x \in \mathbb{R}$.

Considere as proposições seguintes.

I. $f(1) > 2$.

II. O domínio da função $\frac{1}{f}$ é $\mathbb{R}$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $z = e^{i\theta}$, com $\theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$.

Na Figura 3, estão representados, no plano complexo, o ponto $P$, afixo de $z$, e outros quatro pontos, $A$, $B$, $C$ e $D$.

Qual desses quatro pontos pode ser o afixo do número complexo $iz$?

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, os números $z$ e $w$, tais que $z = \dfrac{w}{3 - 4i}$, com $|w| = 5$ e $\operatorname{Re}(w) < 0$.

Sabe-se que $\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z) = 0$.

Determine $w$ na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere a função $f$, de domínio $[0, a]$, com $a > 0$, definida por

$$f(x) = \operatorname{sen}(2x) + \cos x$$

Determine o menor valor de $a$ para o qual a função $f$ tem, exatamente, vinte zeros.

Na Figura 4, estão representados o triângulo $[PQR]$ e os pontos $B$, $C$ e $S$.

Sabe-se que:

os pontos $B$ e $C$ são, respetivamente, o baricentro e o circuncentro do triângulo $[PQR]$;

o ponto $S$ é o ponto médio do segmento de reta $[RQ]$;

o ponto $C$ pertence ao segmento de reta $[PS]$;

$\overline{PR} = \overline{PQ}$, $\overline{PB} = 6$ e $\overline{QR} = 6\sqrt{6}$.

Determine $\overline{CS}$.

14. Na Figura 5, está representado um cone reto, com raio da base $r$ e apótema $a$, sendo $r$ e $a$ dois números reais positivos, com $r < a$. Estão também representados, na base do cone, dois pontos, $A$ e $B$, sendo o segmento de reta $[AB]$ um diâmetro dessa base.

Designando por $x$ o quociente entre o raio da base e o apótema, sabe-se que a distância, $d$, entre os pontos $A$ e $B$, pela superfície do cone, é dada pela expressão

$$d(x) = \frac{2r}{x}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right),\quad \text{com } x \in ]0, 1[$$

Determine, recorrendo à calculadora, o quociente entre o raio da base e o apótema quando a distância entre os pontos $A$ e $B$, pela superfície do cone, excede em $40\%$ o diâmetro da base do cone.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

– apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

– represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permite(m) resolver a equação.

15. Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}^+$, e a reta $r$, de equação $y = -x + 2$, assíntota ao gráfico da função $f$.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}^+$, definida por

$$g(x) = f(x) + \frac{x + e^x}{e^x}$$

Determine uma equação da assíntota não vertical ao gráfico da função $g$.

16. Na Figura 6, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência trigonométrica, o triângulo $[ABC]$ e o ponto $D$.

Sabe-se que:

$A$ é um ponto pertencente à reta de equação $x = 1$, de ordenada positiva;

$\alpha$ é a inclinação da reta $OA$, com $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{4}\right[$;

$C$ é o ponto de intersecção da reta $OA$ com a circunferência, de coordenadas negativas;

$D$ é o ponto de coordenadas $(0, 1)$;

$B$ é o ponto de intersecção da reta de equação $x = 1$ com a reta $CD$.

Mostre que

$$\overline{AB} = 1 + \frac{1}{\cos \alpha}$$