Exame Nacional Matemática A 2026 · 1.ª fase

1. O João comprou oito livros distintos para ler durante as férias, sendo quatro desses livros policiais.

O João pretende ler os oito livros, um após o outro.

De quantas maneiras o pode fazer, lendo os quatro policiais seguidos?

()

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} 4 - \mathrm{e}^{3-x}(x+1) - \frac{1}{2}x^2 & \text{se } x \le 3 \\[8pt] \frac{\mathrm{e}^{x-3}-1}{x^2 - 9} & \text{se } x > 3 \end{cases}$$

Resolva os itens 2.1., 2.2. e 2.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Resolva os itens 2.1., 2.2. e 2.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

2.1.

Averigue se a função $f$ é contínua em $x = 3$.

2.3.

Mostre que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função $f$, de abcissa pertencente ao intervalo $]-1, 0[$, cuja ordenada é simétrica da abcissa.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} 4 - \mathrm{e}^{3-x}(x+1) - \frac{1}{2}x^2 & \text{se } x \le 3 \\[8pt] \frac{\mathrm{e}^{x-3}-1}{x^2 - 9} & \text{se } x > 3 \end{cases}$$

Resolva os itens 2.1., 2.2. e 2.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

2.2. Estude, no intervalo $]-\infty, 3[$, a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia e o(s) valor(es) de $x$ em que a função $f$ tem extremo(s) relativo(s), caso este(s) exista(m).

3. Existem vários indicadores utilizados na monitorização de um peso saudável. Dois desses indicadores são o Índice de Massa Corporal (IMC), expresso em quilogramas por metro quadrado, e a Taxa Metabólica Basal (TMB), expressa em quilocalorias por dia.

Na Tabela 1, apresentam-se os valores do IMC e da TMB de sete mulheres.

Na Figura 1, estão representados, para as variáveis idade, em anos, e TMB, em quilocalorias por dia, das sete mulheres:

o diagrama de dispersão;

a reta de regressão e a respetiva equação reduzida;

o quadrado do coeficiente de correlação linear, $r^2$.

Tabela 1

Mulheres

IMC

$(x)$

TMB

$(y)$

A · 24,6 · 1282

B · 23,4 · 1291

C · 23,9 · 1385

D · 27,5 · 1513

E · 23,6 · 1379

F · 22,7 · 1202

G · 31,2 · 1567

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

A média dos valores da TMB das sete mulheres, arredondada às unidades, é

quilocalorias por dia.

Relativamente à distribuição dos valores do IMC apresentados na Tabela 1, existem exatamente

mulheres com IMC pertencente ao intervalo $]Q_1, Q_3[$, em que $Q_1$ e $Q_3$ são, respetivamente, o primeiro quartil e o terceiro quartil dessa distribuição.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Tabela 1 é

ao coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Figura 1.

Relativamente às variáveis apresentadas no diagrama de dispersão, e admitindo a validade do modelo de regressão linear aí apresentado, uma mulher com 43 anos terá uma TMB aproximadamente igual a

quilocalorias por dia (valor arredondado às unidades).

4. Na Figura 2, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o paralelepípedo retângulo $[ABCDEFGH]$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence ao eixo $Ox$, e o ponto $B$ pertence ao eixo $Oy$;

o ponto $C$ tem coordenadas $(0, 6, 4)$, e o ponto $G$ tem coordenadas $(6, 9, 0)$;

a reta $DH$ é definida pela equação $(x, y, z) = (2, -3, 4) + k(1, 3, 0),\; k \in \mathbb{R}$.

4.1.

Qual das equações seguintes define o plano perpendicular à reta $DH$ e que passa no ponto $G$?

4.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine uma equação da superfície esférica de centro no ponto $A$ e que passa no ponto $F$.

Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona decrescente?

()

Qual das expressões seguintes é termo geral de uma progressão geométrica cuja soma de todos os termos tem um valor finito?

()

A Margarida tem cinco pares de sapatos. Cada par de sapatos tem uma cor diferente: azul, branco, cinzento, vermelho e preto.

Para guardar os sapatos, a Margarida dispõe de uma sapateira com dez compartimentos iguais, identificados com as letras de A a J, como se ilustra na Figura 3.

Admita que a Margarida vai guardar, aleatoriamente, os cinco pares de sapatos na sapateira, um par de sapatos da mesma cor por compartimento.

Determine a probabilidade de o par de sapatos brancos e o par de sapatos pretos ficarem em compartimentos adjacentes*.

* Dois compartimentos dizem-se adjacentes quando partilham uma divisória física (ou quando têm um lado comum). Por exemplo, o compartimento C é adjacente aos compartimentos A, D e E.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

7. O concessionário da praia da Ilha do Pessegueiro, num determinado dia de verão, registou o número de pessoas que utilizaram guarda-sol e o número de pessoas que utilizaram para-vento, tendo concluído que:

$75\%$ utilizaram o guarda-sol;

$22\%$ não utilizaram o guarda-sol nem o para-vento;

uma em cada cinco das pessoas que utilizaram o guarda-sol também utilizou o para-vento.

Selecionou-se, ao acaso, uma pessoa que, nesse dia, esteve na praia da Ilha do Pessegueiro e não utilizou o para-vento.

Determine a probabilidade de essa pessoa ter utilizado o guarda-sol.

Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

%

8. Na Figura 4, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferãncia de centro na origem, $O$, e raio $1$, a reta $r$, de equação $y = 1$, o triângulo $[BCD]$ e o ponto $A$.

Sabe-se que:

$A$ é o ponto da circunferãncia que pertence ao semieixo positivo $Ox$;

$C$ é o ponto da circunferãncia que pertence ao semieixo positivo $Oy$;

$B$ é o ponto da reta $r$ tal que a amplitude do ângulo $AOB$ é $\alpha$, com $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$;

$D$ é o ponto da circunferãncia tal que o segmento de reta $[BD]$ contém um diâmetro da circunferãncia.

Mostre que a área do triângulo $[BCD]$ é dada pela expressão $$\frac{\cos\alpha(1 + \operatorname{sen}\alpha)}{2\operatorname{sen}\alpha}$$

Mostre que, para qualquer $x \in \mathbb{R}$, a igualdade seguinte é verdadeira.

$$1 - \left(\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \operatorname{sen} x\right)^2 = \operatorname{sen}(2x)$$

Considere a função $f$, de domínio $]0, +\infty[$, definida por $$f(x) = x^4 \ln x - 1$$

A função $f$ é contínua e tem exatamente um zero no intervalo $]1, 2[$.

Determine, utilizando o método da bissecção, uma aproximação desse zero, com um erro inferior a $0{,}1$.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, träs casas decimais.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $z = e^{i\theta}$, com $\theta \in \left]0, \frac{\pi}{6}\right[$.

Na Figura 5, estão representados, no primeiro quadrante do plano complexo, o ponto $P$, afixo de $z$, e outros quatro pontos, $A$, $B$, $C$ e $D$.

Qual desses quatro pontos pode ser o afixo do número complexo $z^2$?

A

Ponto $A$

B

Ponto $B$

C

Ponto $C$

D

Ponto $D$

11. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $$w = \frac{-\sqrt{3} + i^{37}}{2e^{i\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}}$$

Determine as soluções da equação $z^2 = w$.

Apresente as soluções na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$.

A Inês pretende subscrever uma conta-poupança, com a duração de $25$ anos, nas condições seguintes:

no início de cada ano, a Inês compromete-se a depositar na conta a quantia fixa de $500$ euros;

durante os $25$ anos, a Inês não pode fazer levantamentos nem depósitos adicionais;

no fim de cada ano, ao capital existente na conta, é adicionado o valor do juro, calculado à taxa de juro anual de $j\,\%$.

O capital, $C$, em euros, existente na conta da Inês, no final dos $25$ anos, é dado, em função da taxa de juro anual, $j$, em percentagem, por

$$C(j) = 500\left(1 + \frac{100}{j}\right)\left(\left(1 + \frac{j}{100}\right)^{25} - 1\right), \quad \text{com } j > 0$$

A Inês pretende obter, no final dos $25$ anos, um acréscimo de $20\,\%$ relativamente ao total das quantias depositadas.

Determine, recorrendo à calculadora, a taxa de juro anual, em percentagem, que a Inês deverá negociar com o banco, de modo a concretizar o seu objetivo.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

%

13.(AE2018)

Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

A soma dos quatro últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é $288\,101$.

Determine o segundo elemento dessa linha, sabendo também que o quarto elemento da linha seguinte é $287\,980$.

13.(AE2023)

Uma agência de viagens pretende organizar um passeio que inclui a visita a uma praia portuguesa.

Para escolher a praia a visitar, a agência realizou uma votação junto de 250 dos seus clientes, de modo a saber qual destas quatro praias preferiam: praia do Almograve (A); praia do Barril (B); praia do Cabedelo (C); praia da Duquesa (D).

Ao votar, cada cliente preencheu um boletim, no qual ordenou as quatro praias, A, B, C e D, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido com uma certa ordenação corresponde a 1 voto.

A Tabela 2 apresenta as preferências de 200 desses 250 clientes.

Os 50 clientes restantes votaram todos numa mesma ordenação das quatro praias, colocando a praia B numa posição superior à praia A.

Concluída a votação, aplicou-se o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada uma das praias, em função do seu lugar na ordem de preferência. Cada praia recebe:

quatro pontos por cada voto na 1.ª preferência;

três pontos por cada voto na 2.ª preferência;

dois pontos por cada voto na 3.ª preferência;

um ponto por cada voto na 4.ª preferência.

Contabiliza-se a pontuação total de cada uma das praias, e a mais pontuada é considerada a praia preferida pelos clientes da agência de viagens.

Em caso de empate, a tabela de preferências é reestruturada, contemplando-se, em cada coluna, apenas as praias empatadas, que ocuparão a 1.ª e a 2.ª preferências, mantendo-se a mesma ordem. A praia preferida pelos clientes da agência de viagens é a que obtiver maior número de votos na primeira preferência.

Mostre que a praia B não poderá ser a escolhida.

Na sua resposta, apresente:

a pontuação de cada praia, resultante da aplicação do método acima descrito aos votos registados na Tabela 2;

uma justificação para que a praia B não possa ser a escolhida, mesmo incluindo as votações possíveis dos 50 clientes.

1.

2.

3.

4.

5.

Seja $f$ uma função polinomial de grau cinco, e seja $f'$ a primeira derivada da função $f$.

Na Figura 6, está representada, em referencial o.n. $Oxy$, parte do gráfico da função $f'$.

Sabe-se que:

$-1$, $0$ e $3$ são os zeros da função $f'$;

$f'(x) < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 0$;

a função $f'$ é monótona no intervalo $[3, +\infty[$.

Considere as proposições seguintes.

I. A função $f$ admite três extremos.

II. O gráfico da função $f$ tem concavidade voltada para baixo no intervalo $]3, +\infty[$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Considere, em referencial o.n. $Oxy$, a parábola que representa graficamente a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^2 - 1$, e a reta $s$, de equação $y = a$, com $a > -1$.

Determine, em função de $a$, o raio da circunferência que contém o vértice da parábola e os pontos de intersecção da parábola com a reta $s$.