Exame Nacional Matemática A 2026 · Época especial

1. Na Figura 1, está representada, em referencial o.n. $Oxyz$, a superfície esférica de centro no ponto de coordenadas $\left(\frac{1}{2}, 3, 3\right)$, tangente ao plano $xOy$, no ponto $A$, e tangente ao plano $xOz$, no ponto $B$.

1.1.

Qual das equações seguintes define a superfície esférica?

()

1.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $\alpha$ o plano que passa no ponto de coordenadas $(4, 3, -5)$ e é perpendicular à reta $AB$.

Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta $AB$ com o plano $\alpha$.

(,,)

2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $h$ a função, de domínio $\mathbb{R}^+$, definida por $h(x) = 1 + \frac{\ln x}{x^2}$.

Estude a função $h$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Qual é o limite da sucessão de termo geral $u_n = \left(\frac{n+2}{n}\right)^{3n}$?

()

A Inês depositou 5740 euros numa instituição financeira, na modalidade de juro composto, capitalizado mensalmente, à taxa de juro anual de 2%.

Durante dois anos, a Inês não fez nenhum levantamento nem nenhum depósito.

Qual foi o capital acumulado, em euros, arredondado às unidades, obtido pela Inês, no final dos dois anos?

()

4. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x+2} - 1}{x^2 - 4} & \text{se } x < -2 \\[2ex] 2e^{x+2} + 3e^{-x-2} & \text{se } x \ge -2 \end{cases}$$ Resolva os itens 4.1., 4.2. e 4.3. sem recorrer à calculadora.

Averigue se a função $f$ é contínua em $x = -2$.

4. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x+2} - 1}{x^2 - 4} & \text{se } x < -2 \\[2ex] 2e^{x+2} + 3e^{-x-2} & \text{se } x \ge -2 \end{cases}$$ Resolva os itens 4.1., 4.2. e 4.3. sem recorrer à calculadora.

Resolva, no intervalo $[0, +\infty[$, a equação $f(x-2) = 7$.

$x =$

4. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x+2} - 1}{x^2 - 4} & \text{se } x < -2 \\[2ex] 2e^{x+2} + 3e^{-x-2} & \text{se } x \ge -2 \end{cases}$$ Resolva os itens 4.1., 4.2. e 4.3. sem recorrer à calculadora.

4.3.

Considere, em referencial o.n. $Oxy$, a reta $t$, tangente ao gráfico da função $f$ no ponto de abcissa $-2 + \ln a$, com $a \in ]1, +\infty[$.

Determine o valor de $a$, sabendo que a reta $t$ é paralela ao eixo $Ox$.

5. Para estudar a associação entre o Produto Interno Bruto (PIB) real per capita de um país e a quantidade de gases com efeito de estufa (GEE) emitidos per capita nesse país, recolheram-se os dados relativos a 2021 de nove países europeus, apresentados na tabela seguinte.

Países

PIB real per capita

(milhares de euros)

$(x)$

GEE per capita

($\text{tCO}_2\text{eq}$)

$(y)$

Alemanha · 35,48 · 9,1

Eslovénia · 21,31 · 7,6

Espanha · 23,45 · 6,1

Dinamarca · 50,01 · 7,5

Irlanda · 70,53 · 12,3

Luxemburgo · 84,49 · 14,7

Países Baixos · 41,86 · 9,6

Portugal · 18,06 · 5,5

Roménia · 9,61 · 6,0

Fonte: PORDATA (consultado em outubro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

Em 2021, o PIB real per capita da Roménia foi, aproximadamente,

do PIB real per capita do Luxemburgo (valor arredondado às unidades).

Relativamente à distribuição dos valores do PIB real per capita apresentados na tabela, existem exatamente

países com PIB real per capita pertencente ao intervalo $]\bar{x} - s, \bar{x} + s[$, em que $\bar{x}$ e $s$ são, respetivamente, a média e o desvio padrão amostral dessa distribuição.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ obtido a partir dos dados apresentados na tabela, verifica-se uma correlação linear

entre o PIB real per capita e as emissões de GEE per capita. Com base nesse modelo, utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, e sabendo que, em 2021, o PIB real per capita da França foi $32{,}53$ milhares de euros, estima-se que, nesse ano, a quantidade de GEE emitidos per capita na França, em $\text{tCO}_2\text{eq}$, tenha sido

(valor arredondado às décimas).

(a)

(b)

(c)

(d)

()

()

()

()

6. Numa turma do $12.^{\circ}$ ano, há alunos que gostam de futebol e alunos que gostam de voleibol.

6.1. Nove dos alunos dessa turma vão assistir a um jogo de futebol num camarote constituído por uma fila com $9$ cadeiras.

A Susana, o Tomás, o Xavier e a Vânia são quatro desses alunos.

De quantas formas diferentes se podem sentar os nove alunos nas nove cadeiras, ficando a Susana, o Tomás e o Xavier juntos nas três cadeiras centrais e a Vânia numa das extremidades da fila?

6. Numa turma do $12.^{\circ}$ ano, há alunos que gostam de futebol e alunos que gostam de voleibol.

6.2. Relativamente aos alunos dessa turma, sabe-se que:

$80\%$ gostam de futebol;

$16\%$ gostam de voleibol e não gostam de futebol;

dos que gostam de futebol, $7$ em cada $10$ não gostam de voleibol.

Seleciona-se, ao acaso, um aluno dessa turma.

Determine a probabilidade de esse aluno não gostar de futebol, sabendo que não gosta de voleibol.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

7.(AE2018) Seja $E$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset E$ e $B \subset E$).

Sabe-se que:

$P(B) = 0{,}7$;

$P(\overline{A} \cup \overline{B}) - P(A \cup \overline{B}) = 0{,}1$.

Determine o valor de $P(A \cap B)$.

Apresente o resultado na forma de dízima.

7.(AE2023) Uma caixa contém cinco cartões, numerados de $1$ a $5$.

Retiram-se, simultaneamente e ao acaso, três cartões da caixa.

Seja $X$ a variável aleatória «número de cartões numerados com um número menor do que $3$, no conjunto dos três cartões retirados».

Determine o valor médio da variável $X$.

Apresente o resultado na forma de dízima.

8. Na Figura 2, está representada uma circunferência de centro $O$ e raio $4$.

Os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência.

O arco de circunferência $AB$ tem comprimento $\frac{8\pi}{3}$.

Determine o valor do produto escalar $\vec{AO} \cdot \vec{AB}$.

9. Uma sonda meteorológica, com um paraquedas, é largada de um balão e cai segundo uma trajetória vertical até chegar ao solo.

Admita que, no seu movimento de queda, $t$ segundos após ser largada, a distância da sonda ao solo, em metros, é dada por

$$y(t) = 3000 - 320\left(e^{-\frac{7}{40}t} - 1\right) - 56t, \quad t \ge 0$$ Determine, recorrendo à calculadora, quanto tempo demorou a sonda a percorrer $\frac{2}{3}$ do comprimento da sua trajetória de queda.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

– apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

– represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

a)

b)

c)

s

Considere três números reais, $a$, $b$ e $c$, tais que $0 < a < b < c$.

Seja $f$ uma função, de domínio $[0, c]$, duas vezes diferenciável, e seja $f'$ a função derivada da função $f$.

Sabe-se que:

$a$ é o único zero da função $f'$;

$f'$ é estritamente decrescente no intervalo $[0, b]$ e estritamente crescente no intervalo $[b, c]$.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função $f$ tem concavidade voltada para baixo no intervalo $[b, c]$.

II. A função $f$ é estritamente decrescente no intervalo $[0, a]$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

Sejam $f$ e $g$ duas funções de domínio $\mathbb{R}$.

Sabe-se que:

a função $f$ é contínua e é ímpar;

$f(1) = -2$;

a função $g$ é definida por $g(x) = e^{2x} - f(x)$.

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função $g$ intersecta a reta de equação $y = 2$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $]-1, 1[$.

Considere a função $f$, de domínio $[-3, +\infty[$, contínua, definida por

$$f(x) = e^{2x} - \sqrt{x+3}$$

A equação $f(x) = 2$ tem, exatamente, uma solução pertencente ao intervalo $]0, 1[$.

Determine, usando o método da bissecção, uma aproximação dessa solução, com erro inferior a $0{,}1$.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.

12. Na Figura 3, está representado, no plano complexo, o quadrado $[ABCD]$.

Os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ são os afixos dos números complexos $z_1$, $z_2$, $z_3$ e $z_4$, respetivamente, e são equidistantes da origem do referencial, $O$.

Qual dos seguintes números complexos é igual a $i z_3$?

()

13. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $w = -\sqrt{3} + i$.

O número $w$ é uma das raízes cúbicas de um número complexo $z$.

Determine o número real negativo $x$ para o qual o número complexo $\dfrac{z - x}{i^{23}}$ tem módulo $9$.

14. Na Figura 4, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, o gráfico da função $f$, de domínio $[0, 2\pi]$, definida por $f(x) = k \cos x$, com $k \in \mathbb{R}^+$, e os pontos $A$ e $B$, pertencentes ao gráfico da função $f$.

Sabe-se que:

a abcissa do ponto $A$ pertence ao intervalo $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, e a abcissa do ponto $B$ excede em $\frac{\pi}{2}$ a abcissa do ponto $A$;

a distância do ponto $A$ ao semieixo positivo $Ox$ excede em $1$ a distância do ponto $B$ a esse semieixo;

$\dfrac{7\pi}{2}$ é a área do retângulo de diagonal $[AB]$ e lados paralelos, dois a dois, aos eixos coordenados.