Exercício 14 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2026

14. Na Figura 5, está representado um cone reto, com raio da base $r$ e apótema $a$, sendo $r$ e $a$ dois números reais positivos, com $r < a$. Estão também representados, na base do cone, dois pontos, $A$ e $B$, sendo o segmento de reta $[AB]$ um diâmetro dessa base.

Designando por $x$ o quociente entre o raio da base e o apótema, sabe-se que a distância, $d$, entre os pontos $A$ e $B$, pela superfície do cone, é dada pela expressão

$$d(x) = \frac{2r}{x}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right),\quad \text{com } x \in ]0, 1[$$

Determine, recorrendo à calculadora, o quociente entre o raio da base e o apótema quando a distância entre os pontos $A$ e $B$, pela superfície do cone, excede em $40\%$ o diâmetro da base do cone.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

– apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

– represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permite(m) resolver a equação.