Aufgabe C1 - 2 (Geraden und Ebenen) · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2021

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24|8|-1)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20|5|-3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15|0|-5{,}5)$

zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9|-2|-8{,}5)$

2.1

Bestimmen Sie die Parametergleichungen der beiden Geraden, die die Tauchbahnen der Roboter modellieren. [4 BE]

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 24 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + r_1 \cdot$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ 0 \\ -5{,}5 \end{pmatrix} + r_2 \cdot$

2.2

Ermitteln Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Geraden aus Aufgabe 2.1. [4 BE]

$T($

$|$

$|$

$)$

2.3

Die beiden Roboter starten gleichzeitig vom Punkt $P_1$ bzw. $Q_1$ zum Zeitpunkt $t_1$ und bewegen sich auf ihren Tauchbahnen zum Schnittpunkt $T$. Begründen Sie, dass der Schnittpunkt $T$ auf dem Weg des Roboters R1 nicht zwischen $P_1$ und $P_2$ liegt, und ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $U$, an dem sich R1 befindet, wenn der Tauchroboter R2 am Schnittpunkt $T$ angelangt ist. [4 BE]

$U($

$|$

$|$

$)$

2.5

Bei einem zweiten Tauchgang kann man ab einem bestimmten Zeitpunkt die Tauchbahnen der beiden Tauchroboter R1 und R2 folgendermaßen beschreiben:

$$\text{R1: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ -22 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \text{R2: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 27 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Dabei ist $t \ge 0$ die Zeit in Minuten ab diesem Zeitpunkt.

Die Vektorgleichung besitzt die Lösung $t = 4$.

Deuten Sie diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]