Aufgabe C2.2 · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · WTR (2021)

Aufgabenstellung

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind 3 %3\,\% der hergestellten Geräte defekt.

Zwei Mitarbeiter stellen jeweils 50 Berliner von Hand her und bestimmen deren Gewicht mit einer auf Gramm genauen Waage. Die Ergebnisse sind im Material dargestellt.

Material: Untersuchung des Gewichts der Berliner

Mitarbeiter A

Gewicht in Gramm

88

89

90

91

92

93

Anzahl Berliner

6

9

10

12

8

5

Mitarbeiter B

Gewicht in Gramm

88

89

90

91

92

93

Anzahl Berliner

2

5

20

16

6

1

2.1

Stellen Sie die Daten von Mitarbeiter A graphisch in einem Diagramm dar. [5 BE]

2.2

Zeigen Sie rechnerisch, dass der arithmetische Mittelwert des Gewichts der Berliner bei beiden Mitarbeitern jeweils gleich groß ist. [4 BE]

2.3

Erörtern Sie ohne weitere Rechnung, bei welchem der beiden Mitarbeiter die (empirische) Standardabweichung des Gewichts größer ist. [3 BE]

Mitarbeiter A

Mitarbeiter B

3

Beim Bezahlen an der Kasse bietet die Bäckerei bei einer Rabattaktion zwei Varianten an:

Variante 1: Der Kunde erhält 3 %3\,\% Rabatt auf den Einkauf.

Variante 2: Es wird mit zwei herkömmlichen Spielwürfeln gewürfelt, die jeweils mit den Zahlen 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6 beschriftet sind. Fallen dabei zwei Sechsen, bekommt der Kunde seinen Einkauf geschenkt. Andernfalls muss er den vollen Preis bezahlen.

Untersuchen Sie, welche Variante langfristig für den Kunden günstiger ist. [4 BE]

Variante 1

Variante 2

Aufgabenstellung: Aufgabe C2.2 · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

2.1 Stellen Sie die Daten von Mitarbeiter A graphisch in einem Diagramm dar.

Lösung:

2.2 Zeigen Sie rechnerisch, dass der arithmetische Mittelwert des Gewichts der Berliner bei beiden Mitarbeitern jeweils gleich groß ist (Wert in Gramm).

Lösung: 90,44

2.2 Rechnerischer Nachweis für beide Mitarbeiter.

Lösung: (6·88 + 9·89 + 10·90 + 12·91 + 8·92 + 5·93) / 50 = 90,44 g und (2·88 + 5·89 + 20·90 + 16·91 + 6·92 + 1·93) / 50 = 90,44 g. Beide Mittelwerte sind somit gleich groß.

2.3 Erörtern Sie ohne weitere Rechnung, bei welchem der beiden Mitarbeiter die (empirische) Standardabweichung des Gewichts größer ist.

Lösung: Mitarbeiter A

2.3 Begründung für die größere Standardabweichung ohne weitere Rechnung.

Lösung: Bei Mitarbeiter A streuen die Ergebnisse stärker um den Mittelwert. Bei Mitarbeiter A gibt es deutlich mehr Berliner mit vergleichsweise hohem (92 g bzw. 93 g) und vergleichsweise niedrigem Gewicht (88 g bzw. 89 g), während bei Mitarbeiter B die Gewichte der meisten Berliner im mittleren Bereich (90 g bzw. 91 g) liegen.

3 Untersuchen Sie, welche Variante langfristig für den Kunden günstiger ist.

Lösung: Variante 1

3 Erwartete Ersparnis bei Variante 2.

Lösung: 1/36 / 2,78 % / 0,0278

3 Untersuchung und Begründung des Vergleichs beider Varianten.

Lösung: Bei Variante 1 spart der Kunde sicher 3 %. Bei Variante 2 spart er im Durchschnitt nur 1/36 ≈ 2,78 % < 3 %. Daher ist Variante 1 auf lange Sicht günstiger für den Kunden.

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