Examen de Estructuras I UPC 2000 · Colección de exámenes resueltos de

Examen Final Junio 2004 - 1er Ejercicio (6 puntos). Cálculo de fuerza F para desplazamiento dado

Para la estructura de la figura, determinar el valor de la carga puntual vertical $F$ que debe aplicarse en el extremo A de modo que el apoyo deslizante E experimente un desplazamiento horizontal hacia la izquierda exactamente igual a $0{,}5\text{ cm}$.

Datos válidos para todas las barras:

Módulo elástico: $E = 2.000.000\text{ T/m}^2$

Momento de inercia: $I = 0{,}0016\text{ m}^4$

Rigidez a flexión: $EI = 3.200\text{ t}\cdot\text{m}^2$

Examen Final Junio 2004 - 2º Ejercicio (4 puntos). Carga repartida q según cortante y flector

Para el pórtico regular de tres vanos y dos plantas mostrado en el esquema, se ha realizado un predimensionado preliminar de secciones (jácenas IPE-300, IPE-330, IPE-360 y pilares HEB-120 y HEB-140):

Conociendo las cargas repartidas que gravitan en los vanos izquierdo y central, determinar:

a.

El valor de la carga repartida $q$ para que el esfuerzo cortante sea idéntico en ambos extremos de la jácena BC.

b.

El valor que debe adoptar $q$ para que el flector en el extremo izquierdo de la jácena CD sea el doble del momento en su extremo derecho.

Examen Parcial Mayo 2004 - 1er Ejercicio (6 puntos). Reacciones en pórtico hiperestático grado 1

Hallar las reacciones en los apoyos del pórtico hiperestático de grado 1 representado, sabiendo que todas las barras poseen idéntico material y sección transversal:

a)

b)

c)

Examen Parcial Mayo 2004 - 2º Ejercicio (4 puntos). Predimensionado preciso de jácenas y pilares

A partir del esquema del pórtico de tres vanos de 6 plantas (considerando cubierta como planta tipo) con perfiles HEB para pilares e IPE para jácenas ($σ^* = 1.733\text{ kg/cm}^2$):

Obtener, mediante el método de los momentos de distribución inicial (m.d.i.), un predimensionado más exacto para las jácenas A y B, y los pilares C y D.

1.

2.

Examen Final Junio 2003 - 1er Ejercicio. Resolución completa de pórtico hiperestático

Para el pórtico hiperestático de grado 1 representado, con todas las barras de idéntica sección y material ($E = 2.000.000\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0016\text{ m}^4$, $EI = 3.200\text{ t}\cdot\text{m}^2$), determinar:

a)

Reacciones de apoyo (introduce el valor con signo considerando positivo hacia arriba):

b)

Diagramas de flectores, cortantes y axiles.

c)

Trazado de la deformada cualitativa a estima.

d)

Giros y desplazamientos de todos los nudos.

Examen Final Junio 2003 - 2º Ejercicio. Criterios de predimensionado y rigideces relativas

Utilizando los principios de predimensionado basados en las rigideces relativas de los elementos:

a)

Si se incrementan los momentos de inercia de los pilares 2-6 y 6-10, ¿el flector de predimensionado en el extremo izquierdo de la jácena 6-7 aumenta o disminuye? ¿Y en el extremo derecho? Justifique brevemente la respuesta.

b)

Si se incrementa la inercia de la propia jácena 6-7, ¿su momento en el extremo izquierdo aumenta o disminuye? ¿Y en el derecho? Justifique brevemente la respuesta.

c)

Partiendo de las inercias iniciales, ¿hasta qué valor debe ascender la carga repartida de la barra 6-7 para que su momento flector izquierdo duplique al momento derecho de la jácena 5-6?

d)

¿Existe algún valor de dicha carga repartida para el cual el momento en el pilar 2-6 alcance el 40% del correspondiente a la jácena 6-7?

Examen Parcial Mayo 2003 - 1er Ejercicio (6 puntos). Reacciones en pórtico con patín y articulación

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático de grado 1 representado, cuyas barras comparten igual material y sección transversal:

a)

Reacción horizontal en el apoyo C ($H_C$):

b)

Reacción vertical en el apoyo C ($V_C$):

Examen Parcial Mayo 2003 - 2º Ejercicio (4 puntos). Esfuerzos de predimensionado en jácenas y pilar

El pórtico de tres vanos dispone de 4 plantas idénticas por encima de la zona representada:

A partir del predimensionado cualitativo y basándose en los momentos de distribución inicial (m.d.i.), determinar los esfuerzos de predimensionado precisos (flectores en las jácenas 5-6 y 6-7, y axil y flector en el pilar 2-6).

a)

Escribe el desarrollo del cálculo de los coeficientes de rigidez $k = I/L$, el reparto de los momentos de empotramiento perfecto y el cálculo de momentos flectores en los nudos 5, 6 y 7 de las jácenas 5-6 y 6-7:

b)

Escribe el cálculo del esfuerzo axil $N$ y del flector en el pilar 2-6 (acumulando el ancho de banda tributario y las cargas de las plantas superiores):

Examen Final Junio 2008 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones y leyes de esfuerzos en pórtico

Para el pórtico hiperestático de grado 1 de la figura, con barras de idéntica sección y material ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$), calcular:

a)

Reacciones de apoyo (en toneladas, indicando su valor numérico):

b)

Diagrama de momentos flectores:

c)

Diagrama de esfuerzos cortantes:

d)

Diagrama de esfuerzos axiles:

e)

Giros y desplazamientos de todos los nudos (desarrollo y cálculos):

Examen Final Junio 2008 - 2º Ejercicio

Para el pórtico de tres vanos de la figura (con 3 plantas adicionales idénticas sobre las representadas):

Obtener, mediante el reparto de momentos de distribución inicial (m.d.i.), las secciones ajustadas de la jácena A y los pilares B y C, con $\sigma^* = 1.733\text{ kp/cm}^2$.

a)

b)

c)

Examen Final Junio 2007 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones y leyes en pórtico quebrado

Determinar las reacciones y leyes de cortantes y axiles para el pórtico hiperestático de grado 1 ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$):

a)

b)

c)

Examen Final Junio 2007 - 2º Ejercicio. Predimensionado preciso de jácenas y pilar

En el pórtico de tres vanos con 4 plantas superiores idénticas, calcular los flectores de predimensionado en las jácenas 5-6 y 6-7, así como axiles y flectores en el pilar 2-6 a partir de los m.d.i.:

Desarrolla el cálculo completo de los momentos de distribución inicial (m.d.i.), el reparto en el nudo 6 y la obtención de los flectores en las jácenas 5-6 y 6-7, y los esfuerzos (axil y flector) en el pilar 2-6:

13. Examen Parcial Diciembre 2004 - 1er Ejercicio. Reacciones en pórtico escalonado

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático de grado 1 representado, con barras de sección y material idénticos ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$):

t

Examen Parcial Diciembre 2004 - 2º Ejercicio. Predimensionado con perfiles HEB e IPE

Pórtico de tres vanos y tres niveles superiores más con cubierta tipo ($\sigma^* = 1.733\text{ kp/cm}^2$):

Obtener el predimensionado refinado según los m.d.i. para las vigas A y B y los pilares C y D.

a)

b)

15. Examen Final Enero 2004 - 1er Ejercicio. Pórtico de dos niveles bajo cargas combinadas

Calcular reacciones, diagramas de esfuerzos, deformada y desplazamientos para el pórtico hiperestático:

Datos:

$E = 2.000.000\text{ T/m}^2$, $I = 0,0016\text{ m}^4$.

a)

b)

Resolución completa: restantes reacciones en apoyos, diagramas de esfuerzos ($N$, $V$, $M$) y croquis de la deformada.

Examen Final Enero 2004 - 2º Ejercicio. Predimensionado en dos ciclos iterativos

Pórtico de dos vanos con dos plantas superiores adicionales. Realizar un 1 er ciclo de predimensionado cualitativo y un 2º ciclo considerando las rigideces derivadas para las jácenas 4-5, 5-6 y pilares 1-4, 2-5 (acero A-42, límite $2.600\text{ kg/cm}^2$, $\gamma = 1{,}50$):

Desarrolla el procedimiento de cálculo indicando los momentos de dimensionado del primer ciclo, las secciones estimadas, y la posterior redistribución por rigideces (Cross simplificado o método de distribución de momentos) para el segundo ciclo iterativo.

Examen Final Junio 2005 - 1er Ejercicio. Pórtico con rótula interna y cargas puntuales

Determinar reacciones, diagrama de cortantes y axiles en el pórtico hiperestático grado 1 con rótula en D:

a)

b)

c)

d)

Examen Final Junio 2005 - 2º Ejercicio. Influencia de la carga repartida en momentos

Para el pórtico representado con rigideces finitas:

a)

Si la carga de la barra 6-7 es $5\text{ T/m}$, ¿pueden ser iguales los momentos en sus extremos ($M_{6-7} = M_{7-6}$)? ¿Y si la carga es $6\text{ T/m}$?

b)

Para $5\text{ T/m}$ y $6\text{ T/m}$, ¿pueden igualarse los momentos de cabeza de los pilares 6-2 y 7-3?

c)

¿Existe algún valor de $q > 4\text{ T/m}$ que consiga $M_{6-5} = M_{7-8}$?

Examen Parcial Diciembre 2004 (bis) - 1er Ejercicio. Reacciones hiperestáticas en pórtico quebrado

Hallar las reacciones del pórtico con barras de igual sección y material:

1.

2.

3.

4.

Examen Parcial Diciembre 2004 (bis) - 2º Ejercicio. Predimensionado refinado según rigideces

Determinar el predimensionado de las jácenas A y B y los pilares C y D para el pórtico de tres vanos:

Tensión admisible: $\sigma^* = \frac{2.600\text{ kg/cm}^2}{1{,}50} = 1.733\text{ kg/cm}^2$.

Desarrolla el cálculo de las rigideces relativas $k = I/L$, el reparto de momentos en los nudos y la comprobación/predimensionado refinado de las barras A, B, C y D.

Examen Enero 2004 - Problema 1. Pórtico con rótula y voladizo cargado

Para el pórtico hiperestático grado 1 de la figura ($E = 2.000.000\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0016\text{ m}^4$), determinar reacciones, leyes de esfuerzos, deformada cualitativa y movimientos de los nudos:

4º Parcial 1999 - 1er Ejercicio (3 puntos). Reacciones mediante resolución de pórtico equivalente

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático de la figura A a partir de los resultados dados para el pórtico B (idéntico salvo apoyo deslizante en D con desplazamiento $\delta_D^H = 5{,}77\text{ cm}$):

$V_A$:

t (↑)

$V_D$:

t (↑)

$H_A$:

t (←)

$H_D$:

t (←)

4º Parcial 1999 - 2º Ejercicio (3 puntos). Formulación de ecuaciones de giro en pórtico

A partir del esquema del pórtico isostático y su diagrama de flectores cualitativo, plantear el sistema de ecuaciones para calcular los giros $\theta_B$ y $\theta_D$:

4º Parcial 1999 - 3er Ejercicio (4 puntos). Desplazamiento lateral tras alteraciones estructurales

Indicar razonadamente hacia qué costado se desplazará el pórtico hiperestático si se introduce cada una de las modificaciones siguientes:

a.

Duplicar el m.d.i. de la barra DE.

b.

Duplicar el m.d.i. de la barra CF.

c.

Convertir el empotramiento C en articulación.

d.

Convertir el nudo rígido D en rótula interna.

seek

Examen Parcial Diciembre 2007 - 1er Ejercicio (7,5 puntos). Reacciones de pórtico con doble articulación

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático grado 1 con doble rótula intermedia en el dintel ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$):

Examen Parcial Diciembre 2007 - 2º Ejercicio (3 puntos). Predicción del desplazamiento lateral por rigideces

Justificar hacia qué costado se desplaza cada uno de los dos pórticos mostrados en la figura:

1.

2.

Examen Final Junio 2006 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones en pórtico escalonado de un vano

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$):

Examen Final Junio 2006 - 2º Ejercicio (3 puntos). Predimensionado preciso de jácenas y soporte

Obtener un predimensionado preciso para las jácenas A y B y el pilar C del pórtico de tres vanos:

Examen Final Enero 2004 (bis) - 1er Ejercicio (6 puntos). Pórtico de dos pisos con apoyo deslizante

Determinar las reacciones del pórtico hiperestático grado 1 de dos niveles ($EI = 3.200\text{ t}\cdot\text{m}^2$):

30 Examen Final Enero 2004 (bis) - 2º Ejercicio (4 puntos). Predimensionado de vanos y pilares en dos ciclos

Efectuar el 1er y 2º ciclo de predimensionado para las jácenas 4-5 y 5-6 y pilares 1-4 y 2-5:

Desarrolla el planteamiento y cálculo de los ciclos de predimensionado (cálculo de rigideces $I/L$, reparto de momentos en nudos 4 y 5 y comprobación a flexión y compresión compuesta):

31 Problema pórtico continuo - Planteamiento por compatibilidad de giros

Plantear las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para el pórtico sometido a carga repartida uniforme de 3 t/m:

A partir de las ecuaciones de compatibilidad de giros en los nudos B, C y D (igualando las deformaciones angulares a izquierda y derecha), obtenga el valor de la reacción o fuerza horizontal incógnita $F$:

$F$:

32 2º Ejercicio - Reacciones en pórtico con patín en D y articulación en B

Determinar las reacciones del pórtico hiperestático mostrado, con sección y material constantes:

a) Reacción vertical en el apoyo A ($V_A$):

Examen Parcial Diciembre 2008 - 1er Ejercicio (4 puntos). Reacciones en pórtico continuo con carga superior

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$):

1.

2.

Examen Parcial Diciembre 2008 - 2º Ejercicio (3 puntos). Sentido de traslación lateral de pórticos

Justificar el sentido en que se desplaza cada uno de los dos pórticos mostrados:

Examen Parcial Diciembre 2008 - 3er Ejercicio (3 puntos). Cuestiones conceptuales de predimensionado de pilares

Para un pórtico de cuatro vanos de varias plantas:

a.

Si incrementa la sección del pilar 1-6, ¿el axil de predimensionado del pilar 2-7 crece, decrece o no varía?

Crece

Decrece

No varía

b.

¿Existe algún valor de la carga $q_{3-4}$ para el cual el momento $M_{3-2}$ sea igual al momento $M_{4-5}$?

Sí

No

Examen Final Enero 2009 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones en pórtico asimétrico con apoyo deslizante

Determinar reacciones y croquis de la deformada a estima en el pórtico hiperestático grado 1:

a)

b)

Examen Final Enero 2009 - 2º Ejercicio (3 puntos). Determinación cualitativa del sentido de traslación

Justificar hacia qué costado se desplaza cada uno de los pórticos:

Pórtico A:

Indica el sentido de traslación horizontal y justifica brevemente:

Pórtico B:

Examen Mayo 2000 - 2º Ejercicio. Reacciones y deformaciones en nudo superior

Para el pórtico hiperestático grado 1 con $E = 200.000\text{ kg/cm}^2$ e $I = 160.000\text{ cm}^4$, determinar reacciones, diagramas de esfuerzos y desplazamientos en D.

Indica las reacciones en los apoyos A y C (valores en toneladas y m·t):

a)

t

b)

t

c)

m·t

d)

t

e)

t

f)

Examen Mayo 2000 - 3er Ejercicio. Predimensionado en dos etapas de tres vanos

Efectuar el 1er y 2º ciclo de predimensionado para las jácenas 5-6, 6-7, 7-8 y pilares indicados con perfiles IPE y HEB.

Examen Final Enero 2005 - 1er Ejercicio. Pórtico en T hiperestático con apoyos articulados

Determinar reacciones y leyes de esfuerzos en el pórtico hiperestático:

a)

b)

41. Examen Final Enero 2005 - 2º Ejercicio. Sensibilidad del predimensionado frente a rigidez y cargas

En el pórtico de tres vanos:

a)

Si aumenta la carga en la barra 7-8, ¿aumenta o disminuye el momento en el extremo 7-6?

Aumenta

Disminuye

b)

¿Aumenta o disminuye el momento 7-3?

Aumenta

Disminuye

c)

Si crece la sección de la barra 5-6, ¿aumenta o disminuye el momento 5-6?

Aumenta

Disminuye

d)

Si decrece la sección de la barra 2-6, ¿aumenta o disminuye el momento 6-2?

Aumenta

Disminuye

e)

Si decrece la carga de la barra 5-6, ¿los cortantes en los extremos de la barra 6-7 tienden a igualarse o divergir?

Tienden a igualarse

Divergir

42. Examen Final Junio 2001 - 1er Ejercicio. Reacciones y deformada en pórtico quebrado

Calcular las reacciones del pórtico con $E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$ e $I = 0{,}004\text{ m}^4$:

Desarrolla el planteamiento por compatibilidad (o método de las fuerzas) liberando la coacción correspondiente para determinar las reacciones en los apoyos A y B, y dibuja o explica la forma de la deformada.

Examen Parcial Diciembre 2003 - 1er Ejercicio (6 puntos)

Determinar las reacciones del pórtico con barras de igual sección y material:

a)

Apoyo A (empotramiento):

b)

Apoyo B (articulación):

44. Examen Parcial Diciembre 2003 - 2º Ejercicio (4 puntos). Predimensionado considerando doble inercia en jácenas

Considerando que las jácenas tienen exactamente el doble de inercia que los pilares ($I_{\text{jácena}} = 2 I_{\text{pilar}}$), calcular momentos flectores en jácenas A y B y axiles y flectores en pilares C y D:

Escribe el desarrollo completo del cálculo de los coeficientes de reparto/rigidez directa, distribución de momentos flectores en jácenas A y B, y axiles y flectores en los pilares C y D:

Examen Final Enero 2008 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones en pórtico con dintel continuo y articulación

Determinar reacciones y leyes de esfuerzos en el pórtico hiperestático grado 1:

a)

b)

c)

d)

e)

Examen Final Enero 2008 - 2º Ejercicio (3 puntos). Cuestiones cualitativas de predimensionado estructural

Responder razonadamente a las variaciones de momentos y esfuerzos en el pórtico de tres vanos:

a)

¿Aumenta o disminuye el momento 7-6 al incrementar la carga en 7-8?

Aumenta

Disminuye

b)

¿Aumenta o disminuye el momento 7-3?

Aumenta

Disminuye

c)

¿Aumenta o disminuye el momento 5-6 si crece la sección de 5-6?

Aumenta

Disminuye

d)

¿Aumenta o disminuye el momento 6-2 si decrece la sección del pilar 2-6?

Aumenta

Disminuye

e)

¿Los cortantes en 6-7 tienden a igualarse o divergir si decrece la carga de 5-6?

Tienden a igualarse

Divergir

Examen Parcial Diciembre 2006 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones en pórtico escalonado con doble nivel

Hallar reacciones en el pórtico hiperestático ($E = 2 \times 10^6\ \text{T/m}^2$, $I = 0{,}0032\ \text{m}^4$):

A)

$V_A$: t (↑)

$H_A$: t (←)

$M_A$: m · t

B)

$V_B$: t (↑)

$H_B$: t (→)

Examen Parcial Diciembre 2006 - 2º Ejercicio (3 puntos). Estudio de traslación lateral en pórticos dobles

Justificar hacia qué lado se desplaza cada uno de los tres pórticos de dos vanos:

a)

Primer pórtico (luces de 8 m y 6 m, carga uniforme continua de $3\ \text{T/m}$):

b)

Segundo pórtico (luces iguales de 6 m, cargas de $4\ \text{T/m}$ en vano izquierdo y $3\ \text{T/m}$ en vano derecho):

c)

Tercer pórtico (luces iguales de 6 m, dintel izquierdo con $3I$ y pilar izquierdo con $2I$, carga uniforme de $3\ \text{T/m}$):

Examen Tardes 1999/00 - Ejercicio 1. Pórtico bihiperestático resuelto por superposición

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático de grado 2 de la figura A, empleando los datos de movimientos de las figuras B y C:

Datos generales

Para todas las barras: $E = 2\cdot 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$.

Examen Parcial Mayo 2008 - 1er Ejercicio (7 puntos). Pórtico asimétrico con articulación inferior

Determinar las reacciones del pórtico hiperestático grado 1 ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$),

cuyas barras son todas ellas de igual material y sección:

Desarrolla el planteamiento por compatibilidad (giros o desplazamientos relativos) y las ecuaciones de equilibrio estático para obtener las reacciones globales en el apoyo fijo articulado $A$ ($H_A$, $V_A$) y en el apoyo móvil $C$ ($V_C$):

Examen Parcial Mayo 2008 - 2º Ejercicio (3 puntos). Predicción de desplazamiento lateral en pórticos con rigideces asignadas

Determinar el sentido del desplazamiento lateral de los dos pórticos:

1.

Sentido del desplazamiento lateral del primer pórtico (dos vanos con rótula intermedia en dintel):

2.

Sentido del desplazamiento lateral del segundo pórtico (tres vanos, desnivel en apoyo derecho):

Examen Parcial Diciembre 2002 - 1er Ejercicio (6 puntos). Pórtico con pilar intermedio articulado

Determinar las reacciones del pórtico hiperestático de la figura:

a)

b)

c)

d)

Examen Parcial Diciembre 2002 - 2º Ejercicio (4 puntos). Verificación tensional de predimensionado en 4 vanos

Comprobar si el predimensionado efectuado para las jácenas 6-7 y 7-8 y el pilar 2-7 es admisible ($\sigma \le 1.733\text{ kg/cm}^2$):

Desarrolla la comprobación del estado tensional indicando los axiles, momentos y tensiones combinadas en las secciones pésimas:

Examen Mayo 2000 (18-05-2000) - Ejercicio 1. Cálculo de reacciones mediante desplazamientos del sistema base

Calcular las reacciones del pórtico hiperestático grado 1 de la figura A utilizando los desplazamientos dados de la figura B:

1.

2.

3.

Examen Parcial Mayo 2006 - 1er Ejercicio (7 puntos). Reacciones en pórtico con empotramiento y articulación interna

Determinar las reacciones del pórtico hiperestático ($E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0032\text{ m}^4$):

a)

b)

c)

d)

Examen Parcial Mayo 2006 - 2º Ejercicio. Desplazamiento transversal en pórticos con quiebros

Justificar hacia qué costado se desplaza cada uno de los tres pórticos mostrados:

1.

Primer pórtico (apoyos a distinta cota y pilares con diferente inercia/longitud):

Izquierda

Derecha

2.

Segundo pórtico (dintel inclinado con pilar derecho de mayor longitud y quiebro):

Izquierda

Derecha

3.

Tercer pórtico (vano izquierdo con voladizo/apoyo articulado y dos pilares a la derecha):

Izquierda

Derecha

Examen Final Enero 2001 - 1er Ejercicio. Pórtico con ménsula y patín intermedio

Determinar reacciones, leyes de esfuerzos y desplazamientos en el nudo C:

a)

b)

c)

d)

Examen Parcial Mayo 2005 - 1er Ejercicio (5,5 puntos). Reacciones del pórtico hiperestático a partir de deformada isostática

A partir de los esfuerzos y desplazamientos dados en el croquis isostático B, determinar las reacciones si el apoyo deslizante A se convierte en articulación:

Datos:

$E = 2 \times 10^6\text{ T/m}^2$, $I = 0{,}0016\text{ m}^4$.

1.

2.

3.

4.