Exercício 11 (AE2018) · Exame Nacional Matemática A Época especial 2026

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função $g$ intersecta a reta de equação $y = 2$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $]-1, 1[$.

Resposta: Equacionar o problema: $g(x) = 2$. A função $g$ é contínua em $[-1, 1]$, pois resulta da diferença de duas funções contínuas ($x \mapsto e^{2x}$ e $f$). Calcular $g(1)$: $$g(1) = e^{2} - f(1) = e^{2} - (-2) = e^{2} + 2$$ Como $f$ é ímpar, $f(-1) = -f(1) = -(-2) = 2$. Calcular $g(-1)$: $$g(-1) = e^{-2} - f(-1) = e^{-2} - 2$$ Como $e^{-2} - 2 < 2 < e^2 + 2$, tem-se $g(-1) < 2 < g(1)$. Pelo teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um $c \in ]-1, 1[$ tal que $g(c) = 2$, pelo que o gráfico de $g$ intersecta a reta de equação $y = 2$ em pelo menos um ponto de abcissa pertencente a $]-1, 1[$.