Exercício 8 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2026

8. Na Figura 4, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferãncia de centro na origem, $O$, e raio $1$, a reta $r$, de equação $y = 1$, o triângulo $[BCD]$ e o ponto $A$.

Sabe-se que:

$A$ é o ponto da circunferãncia que pertence ao semieixo positivo $Ox$;

$C$ é o ponto da circunferãncia que pertence ao semieixo positivo $Oy$;

$B$ é o ponto da reta $r$ tal que a amplitude do ângulo $AOB$ é $\alpha$, com $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$;

$D$ é o ponto da circunferãncia tal que o segmento de reta $[BD]$ contém um diâmetro da circunferãncia.

Mostre que a área do triângulo $[BCD]$ é dada pela expressão $$\frac{\cos\alpha(1 + \operatorname{sen}\alpha)}{2\operatorname{sen}\alpha}$$