Aufgabe Vorschlag B1 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaf… · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.4 Nachfolgend sind einige Termumformungen angegeben, mithilfe derer der Funktionsterm von $f_a$ als Differenz des Funktionsterms von $f_0$ und des Terms einer Funktionenschar $p_a$ dargestellt werden kann.

Erläutern Sie die von Zeile (II) zu Zeile (III) durchgeführten Umformungen.

Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $p_a$ in Zeile (III) die Lage der Nullstellen von $p_a$.

$\begin{aligned}

\text{(I)} \quad f_a(t) &= 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at \\[4pt]

\text{(II)} \quad\phantom{f_a(t)} &= 0{,}5\cdot(t^4 - 4t^3 + 4t^2) - 0{,}5a\cdot(t^2 - 2t) \\[4pt]

\text{(III)} \quad\phantom{f_a(t)} &= \underbrace{0{,}5\cdot(t^2\cdot(t-2)^2)}_{f_0(t)} - \underbrace{0{,}5a\cdot(t\cdot(t-2))}_{p_a(t)}

\end{aligned}$

a)

b)