Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Funktionen und ihre Eigenschaf… · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung GK · WTR (2022)

Aufgabenstellung

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit tt (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion hh modelliert werden. Der Graph von hh ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion hh

tt · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

h(t)h(t) · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

tt · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

h(t)h(t) · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

Die Funktionsgleichung von hh lautet: h(t)=1005+e−0,5t+7,6h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0{,}5t + 7{,}6}}

4.4.1

Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion hh den Wert 17 übersteigt. [4 BE]

4.4.3

Der Grenzwert von hh für t→∞t \to \infty beträgt 20. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang. [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Funktionen und ihre Eigenschaf… · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

4.4.1 Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion h den Wert 17 übersteigt.

Lösung: 15,515{,}5 Tage

4.4.3 Der Grenzwert von h für t -> inf beträgt 20. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

Lösung: Für t→∞t \to \infty gilt: 1005+e−0,5t+7,6→1005+0=20\frac{100}{5 + e^{-0{,}5t + 7{,}6}} \to \frac{100}{5 + 0} = 20, da e−0,5t+7,6→0e^{-0{,}5t + 7{,}6} \to 0. Auf lange Sicht wird sich die Anzahl der Mikroorganismen dem Wert 2000 annähern.

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