Aufgabe Vorschlag B2 - 3 · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Thema: Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Aus der Prüfung GK · WTR (2022)

Aufgabenstellung

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit tt (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit tt in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

Ab dem Zeitpunkt t=12t = 12 wird der Bestand näherungsweise mithilfe der Funktion gg mit

g(t)=20−1243,363⋅e−0,402⋅tg(t) = 20 - 1243{,}363 \cdot e^{-0{,}402 \cdot t}

modelliert. Hierbei gibt g(t)g(t) die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und tt die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen von ff und gg an der Stelle t=12t = 12 bei Rundung auf eine Nachkommastelle ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen.

(6 BE)

a)

b)

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag B2 - 3 · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Nachweis des sprungfreien Übergangs an der Stelle t = 12

Lösung: Für einen sprungfreien Übergang muss f(12)=g(12)f(12) = g(12) gelten. f(12)≈0,080⋅e0,402⋅12≈10,0f(12) \approx 0{,}080 \cdot e^{0{,}402 \cdot 12} \approx 10{,}0 g(12)=20−1243,363⋅e−0,402⋅12≈20−9,999≈10,0g(12) = 20 - 1243{,}363 \cdot e^{-0{,}402 \cdot 12} \approx 20 - 9{,}999 \approx 10{,}0 Da f(12)≈10,0f(12) \approx 10{,}0 und g(12)≈10,0g(12) \approx 10{,}0 gilt, ist die erste Bedingung erfüllt.

Nachweis des knickfreien Übergangs an der Stelle t = 12

Lösung: Für einen knickfreien Übergang muss f′(12)=g′(12)f'(12) = g'(12) gelten. f′(t)≈0,080⋅0,402⋅e0,402⋅t≈0,03216⋅e0,402⋅tf'(t) \approx 0{,}080 \cdot 0{,}402 \cdot e^{0{,}402 \cdot t} \approx 0{,}03216 \cdot e^{0{,}402 \cdot t} g′(t)=−1243,363⋅(−0,402)⋅e−0,402⋅t≈499,832⋅e−0,402⋅tg'(t) = -1243{,}363 \cdot (-0{,}402) \cdot e^{-0{,}402 \cdot t} \approx 499{,}832 \cdot e^{-0{,}402 \cdot t} Einsetzen von t=12t = 12: f′(12)≈0,03216⋅e0,402⋅12≈4,0f'(12) \approx 0{,}03216 \cdot e^{0{,}402 \cdot 12} \approx 4{,}0 g′(12)≈499,832⋅e−0,402⋅12≈4,0g'(12) \approx 499{,}832 \cdot e^{-0{,}402 \cdot 12} \approx 4{,}0 Da f′(12)≈4,0f'(12) \approx 4{,}0 und g′(12)≈4,0g'(12) \approx 4{,}0 gilt, ist auch die zweite Bedingung erfüllt.

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