Aufgabe 4 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung GK · WTR (2022)

Aufgabenstellung

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

Die Positionen zweier hier vereinfachend als punktförmig angenommener Rettungshubschrauber 1 und 2 können während ihrer gleichzeitig stattfindenden Flüge im Zeitraum 0≤t≤40 \le t \le 4 durch die Koordinaten H1(2t+4∣2t+5∣0,3)\mathrm{H}_1(2t + 4 \mid 2t + 5 \mid 0{,}3) und H2(3t+4∣2t+2∣0,3)\mathrm{H}_2(3t + 4 \mid 2t + 2 \mid 0{,}3) beschrieben werden, wobei eine Längeneinheit 1 km1\text{ km} entspricht und tt die Zeit in Minuten angibt.

4.2

Leiten Sie die Formel d=t2+9d = \sqrt{t^2 + 9} für den Abstand der beiden Hubschrauber in Abhängigkeit von der Zeit tt her. (2 BE)

4.3

Begründen Sie mithilfe der Formel aus Aufgabe 4.2 ohne weitere Rechnung, zu welchem Zeitpunkt der Abstand der beiden Hubschrauber im betrachteten Zeitraum maximal ist. (2 BE)

t=t =

Minuten

Aufgabenstellung: Aufgabe 4 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

4.2 Leiten Sie die Formel d = \sqrt{t^2 + 9} für den Abstand der beiden Hubschrauber in Abhängigkeit von der Zeit t her.

Lösung: d = |\vec{H_1H_2}| = \sqrt{(3t+4 - (2t+4))^2 + (2t+2 - (2t+5))^2 + (0{,}3 - 0{,}3)^2} = \sqrt{t^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{t^2 + 9}

4.3 Zeitpunkt des maximalen Abstands

Lösung: 4

4.3 Begründung für den Zeitpunkt des maximalen Abstands

Lösung: t2+9t^2 + 9 (und somit auch dd) ist für t≥0t \ge 0 streng monoton steigend. Somit ist der Abstand der beiden Hubschrauber im betrachteten Zeitraum maximal für t=4t = 4.

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