Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Sachzusammenhang: Umgehungsstraße bei Wetzlar

Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5 \mid 2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7 \mid 2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

Material: Kartenausschnitt

1 Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5|2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7|2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

1.1

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}176x^3 - 0{,}4x^2 + 0{,}7x$ als Modellfunktion für den ersten Abschnitt der geplanten Umgehungsstraße die genannten Bedingungen für den Verlauf der Umgehungsstraße erfüllt. [6 BE]

1.2

Untersuchen Sie, ob bei Verwendung der Modellfunktion $f$ aus Aufgabe 1.1 der erste Abschnitt der Umgehungsstraße ohne Krümmungsänderung im Anschlusspunkt $P_1(2{,}5|2)$ an den zweiten Abschnitt angeschlossen werden kann. [3 BE]