Aufgabe Vorschlag C1 - Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

1.1

Die Seitenwand $BCGF$ liegt in der Ebene $W$. Geben Sie eine Parametergleichung dieser Ebene an und bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $W: 3y - z = 12$]

1.5

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Spitze $S$ der zu dem Stumpf $ABCDEFGH$ gehörenden Pyramide auf der negativen $z$-Achse liegt, also die Koordinaten $S(0|0|-k)$ besitzt, und bestimmen Sie $k$.

1.7

Gegeben sind die Gleichungen zweier Ebenen:

$(1)\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix};\quad t, u \in \mathbb{R}\qquad\qquad (2)\ x - y = 0$

Eine dieser Ebenen ist die Symmetrieebene des Pyramidenstumpfs, die andere Ebene enthält eine der Seitenwände. Geben Sie an, welche der beiden Ebenen die Symmetrieebene ist, und beschreiben Sie ihre besondere Lage im Koordinatensystem.

Geben Sie die Seitenwand an, die in der anderen Ebene enthalten ist.