Aufgabe Vorschlag C1 - Aufgabe 1 - Metrik im Raum · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

1.2

Berechnen Sie den Neigungswinkel $\alpha$ der Seitenwand BCGF gegenüber dem Boden (Material).

°

1.3

Die Seitenwand BCGF ist ein Trapez und soll einen neuen Farbanstrich bekommen.

Zeigen Sie, dass die Seitenwand BCGF im Punkt C einen rechten Winkel besitzt, und berechnen Sie auf ganze Liter gerundet, wie viel Liter Farbe benötigt werden, wenn ein Liter Farbe für $8\text{ m}^2$ ausreicht.

Liter

1.4

Im Punkt F ist ein Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt und den Boden berührt.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Kante $\overline{\text{BF}}$ länger ist als das Seil.

%

1.6

Das Volumen des Pyramidenstumpfs in Abhängigkeit vom Parameter $k$ lässt sich mithilfe des folgenden Ansatzes ermitteln:

$$\frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot (3+k) - \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot k$$

Erläutern Sie diesen Ansatz.