Aufgabe Vorschlag C2.2 - Aufgabe 3 · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

Eine Firma ist darauf spezialisiert, gebrauchte Smartphones, die von ihr generalüberholt, gereinigt und geprüft werden, weiter zu verkaufen. Ein Zwischenhändler bietet der Firma in einer Großlieferung gebrauchte Smartphones zu einem sehr günstigen Preis an. Erfahrungsgemäß sind $20\,\%$ der Geräte dieses Zwischenhändlers so stark beschädigt, dass sie von der Firma nicht mehr verwertet werden können.

3.1

Ein Ankauf beim Zwischenhändler lohnt sich für die Firma nur, wenn bei einer Großlieferung im Mittel mindestens $5000$ verwertbare Smartphones dabei sind.

In diesem Zusammenhang wird folgende Überlegung angestellt:

(1) $(5000 + k) \cdot 0{,}2 = k \quad (k > 0)$

(2) $\dots \iff k = 1250$

(3) $y \ge 6250$

Erläutern Sie den Ansatz in Zeile (1) im Sachzusammenhang. Geben Sie in Zeile (2) die durch Auslassungspunkte gekennzeichnete fehlende Berechnung an. Erklären Sie das Ergebnis in Zeile (3) im Sachzusammenhang. [5 BE]

3.2

Die Firma überprüft zufällig ausgewählte Smartphones der Großlieferung des Zwischenhändlers. Die Zufallsgröße $Z$ beschreibe die Anzahl der verwertbaren Geräte.

Wenn $\mu$ der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße $Z$ ist und $\sigma$ die zugehörige Standardabweichung, dann gilt für $\sigma > 3$: $\mathrm{P}(\mu - 2\sigma \le Z \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95$.

3.2.1

Berechnen Sie, wie viele Geräte mindestens überprüft werden müssen, damit die Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist. [2 BE]

3.2.2

Die Firma überprüft $500$ Geräte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(\mu - 2\sigma \le Z \le \mu + 2\sigma)$ auf vier Nachkommastellen genau. [4 BE]