Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 4 - Funktionen · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung GK · CAS (2022)

Aufgabenstellung

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit tt (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe der Funktion hh mit h(t)=1005+e−0,5⋅t+7,6h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0,5\cdot t + 7,6}}

modelliert werden.

Material

tt · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

h(t)h(t) · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

tt · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

h(t)h(t) · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.1

Prüfen Sie unter Verwendung der Wertetabelle von hh aus dem Material, ob die Funktion hh zur Modellierung des Bestandes geeignet ist.

[2 BE]

4.4

Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion hh den Wert 1717 übersteigt.

[4 BE]

4.6

Der Grenzwert von hh für t→∞t \to \infty beträgt 2020. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

[3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 4 - Funktionen · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

4.1 Prüfen Sie unter Verwendung der Wertetabelle von h aus dem Material, ob die Funktion h zur Modellierung des Bestandes geeignet ist.

Lösung: Die Funktion h ist zur Modellierung im Intervall [3;19] gut geeignet, da die Funktionswerte um weniger als 0,1 von den Messwerten abweichen.

4.4 Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion h den Wert 17 übersteigt.

Lösung: 15,5 Tage

4.6 Der Grenzwert von h für t → ∞ beträgt 20. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

Lösung: Für t → ∞ gilt: h(t) → 100 / (5 + 0) = 20, da e^(-0,5t+7,6) → 0. Auf lange Sicht wird sich die Anzahl der Mikroorganismen dem Wert 2000 annähern.

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