Aufgabe Vorschlag C1 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2021

Zur Untersuchung des Reschensees wurden zwei Tauchroboter R1 und R2 eingesetzt, die sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf geradlinigen Bahnen unter Wasser fortbewegen und Daten an eine Forschungsstation senden. Im Verlauf des ersten Tauchgangs werden folgende Ortungsdaten gesendet:

Ortungsdaten von R1: zum Zeitpunkt $t_1$: $P_1(24 \mid 8 \mid -1)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $P_2(20 \mid 5 \mid -3)$

Ortungsdaten von R2: zum Zeitpunkt $t_1$: $Q_1(15 \mid 0 \mid -5{,}5)$   zum Zeitpunkt $t_2$: $Q_2(9 \mid -2 \mid -8{,}5)$

In Südtirol ragt im aufgestauten Reschensee ein versunkener Kirchturm empor (Material 1).

Zur Beschreibung des Kirchturms wird ein räumliches Koordinatensystem gewählt. Die Wasseroberfläche liegt in der x-y-Ebene. Eine Einheit in dem Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Material 1: Kirchturm im Reschensee

Material 2: Räumliches Modell des Kirchturms

1 Der Kirchturm besteht aus einem $22\text{ m}$ hohen, quaderförmigen unteren Teil mit $36\text{ m}^2$ großer quadratischer Grundfläche. Darüber befindet sich ein $9\text{ m}$ hohes, symmetrisches Dach in Form einer Pyramide. Je nach Wasserstand ragt der Turm unterschiedlich weit aus dem Reschensee empor.

1.1

Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich die Grundfläche $ABCD$ des Turmes $7\text{ m}$ unter der Wasseroberfläche (Material 2). Die Kante $AE$ liegt auf der $z$-Achse.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $G$, $H$ und $S$ in Material 2 an. [5 BE]

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1.2

Für eine Restaurierung im Jahr 2009 wurde das Dach erneuert.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche. [4 BE]