Aufgabe Vorschlag C1 - Aufgabe 3 - Abstand · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2021

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung GK · CAS (2021)

Aufgabenstellung

Im Reschensee befindet sich ein feinmaschiges ebenes Netz. Das Netz verläuft durch die Punkte $N_1(-19|-5|-5{,}5)$ , $N_2(-23|-7|-1{,}5)$ und $N_3(-16|-3|-5{,}5)$ .

3.2 Ein weiterer Tauchroboter R3 ist mit Sensoren ausgestattet, die bei einer Abstandsunterschreitung von $2$ Metern zu einem Hindernis Alarm auslösen. Der Roboter R3 befindet sich im Punkt $P_3(-9|6|-6)$ in der Nähe des Netzes.

Zeigen Sie, dass die Sensoren an diesem Punkt keinen Alarm auslösen. [6 BE]

$L($

$|$

$)$

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Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Lotgerade zur Ebene N durch den Punkt P3

Lösung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \\ 2 \end{pmatrix}$

Lotfußpunkt L: x-Koordinate

Lösung: -7

Lotfußpunkt L: y-Koordinate

Lösung: 3

Lotfußpunkt L: z-Koordinate

Lösung: -5.5 / -11/2

Damit folgt für den Abstand des Punktes P3 zur Netzebene

Lösung: $3{,}64$ m

Zeigen Sie, dass die Sensoren an diesem Punkt keinen Alarm auslösen.

Lösung: Da der Abstand des Punktes P3 von der Ebene 3,64 m beträgt, ist der Abstand des Tauchroboters zum Netz größer als 2 m, sodass die Sensoren keinen Alarm auslösen.

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