Exame Nacional Matemática B 2022 · Época especial

1. Uma empresa de marcenaria produz e vende aparadores em madeira, feitos à mão, de dois modelos, A e B.

Cada aparador do modelo A necessita de $30$ metros de madeira e de $5$ horas de mão de obra.

Cada aparador do modelo B necessita de $20$ metros de madeira e de $10$ horas de mão de obra.

Para a produção destes dois modelos de aparadores, a empresa dispõe, mensalmente, de $300$ metros de madeira e de $110$ horas de mão de obra.

Por cada aparador do modelo A vendido, a empresa tem o lucro de $700$ euros e, por cada aparador do modelo B vendido, a empresa tem o lucro de $900$ euros.

Admita que a empresa vende todos os aparadores que produz.

Determine o número de aparadores do modelo A e o número de aparadores do modelo B que a empresa deverá produzir por mês, de modo a maximizar o lucro obtido.

Na sua resposta, designe por $x$ o número de aparadores do modelo A e por $y$ o número de aparadores do modelo B a produzir por mês, e apresente:

a função objetivo;

as restrições do problema;

uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;

o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema.

$x$:

$y$:

2. Numa praça de uma vila, existe um quiosque que vende gelados artesanais.

Na tabela ao lado, apresentam-se os valores da temperatura máxima, em ºC, registados na vila em alguns dias e o número de gelados vendidos no quiosque em cada um desses dias.

Temperatura máxima (ºC)

$(x)$ · Número de gelados vendidos

$(y)$

26 · 81

31 · 150

33 · 160

25 · 80

28 · 100

24 · 86

27 · 98

Considere válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ obtido a partir dos dados apresentados na tabela.

Estime, com base nesse modelo, o número de gelados vendidos no quiosque num dia em que o valor da temperatura máxima seja igual a $35\ ^\circ\text{C}$.

Na sua resposta, apresente:

os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, arredondados às décimas;

o valor pedido arredondado às unidades.

$a$:

$b$:

$y(35)$:

Seja $h$ a função que dá a altura de maré, em metros, no porto de Viana do Castelo, durante os dois primeiros dias do ano de 2022.

Admita que $h$ pode ser definida por

$$h(t) = 2 + 1{,}5 \operatorname{sen}(0{,}5t + 1)$$

em que $t$ é o tempo, em horas, decorrido desde as $0$ horas do dia 1 de janeiro.

O argumento da função seno está em radianos.

3.1.

Considere a altura de maré, no porto de Viana do Castelo, às $0$ horas do dia 1 de janeiro de 2022.

Quanto tempo decorreu até ao primeiro instante em que se voltou a registar a mesma altura de maré, nesse porto, de acordo com o modelo apresentado?

Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

h

min

3.2.

Determine, de acordo com o modelo apresentado, o valor máximo e o valor mínimo da altura de maré, no porto de Viana do Castelo, nos primeiros dois dias do ano de 2022.

Apresente o resultado em metros.

m

m

A Luísa vai construir uma tela retangular de $20$ decímetros de perímetro.

4.1. Mostre que a área, $A$, da tela, em decímetros quadrados, em função da medida, $x$, em decímetros, de um dos lados, com $0 < x < 10$, é dada por

$$A(x) = 10x - x^2$$

Na sua resposta, comece por obter uma expressão para a medida da outra dimensão da tela, em função de $x$.

A Luísa vai construir uma tela retangular de $20$ decímetros de perímetro.

4.2. Para a pintura que a Luísa pretende realizar, é necessário que a tela tenha, pelo menos, $16\text{ dm}^2$ de área.

Determine entre que valores pode variar a medida, $x$, em decímetros, de um dos lados da tela, para ter a área pretendida.

Apresente a sua resposta na forma de intervalo de números reais.

Note que a área, $A$, da tela, em decímetros quadrados, em função da medida, $x$, em decímetros, de um dos lados, com $0 < x < 10$, é dada por $A(x) = 10x - x^2$.

5. O João vai participar numa prova de atletismo.

5.1. Admita que o tempo, em minutos, que um atleta demora a concluir essa prova é uma variável aleatória que segue a distribuição normal de valor médio $17{,}4$ minutos e desvio padrão $2{,}6$ minutos.

Nessa prova, vão participar $86$ atletas.

Quantos atletas se espera que demorem mais do que $20$ minutos a concluir o percurso da prova?

Justifique a sua resposta.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

5. O João vai participar numa prova de atletismo.

5.2. A prova realizou-se numa pista circular, como se ilustra no esquema da Figura 1.

Sejam:

$g$ a função que dá a distância em linha reta, em metros, do João ao ponto de partida, $x$ minutos após o início da sua prova, durante toda a primeira volta;

$h$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $g$, para cada valor de $x$.

Considere o gráfico representado na Figura 2.

Justifique que este gráfico não pode ser o gráfico da função $g$ nem pode ser o gráfico da função $h$.

No cenário de um estúdio de televisão, foi desenhada uma linha poligonal, com segmentos de reta posicionados, alternadamente, na vertical e na horizontal.

No esquema da Figura 3, que não está à escala, representam-se sete dos segmentos de reta que constituem essa linha:

o primeiro segmento de reta, posicionado na vertical, tem 5 cm de comprimento;

o segundo segmento de reta, posicionado na horizontal, tem 8 cm de comprimento;

o terceiro segmento de reta, posicionado na vertical, tem 11 cm de comprimento;

e cada um dos segmentos de reta seguintes tem sempre mais 3 cm de comprimento do que o segmento de reta imediatamente anterior.

6.1. Determine o comprimento do 13.º segmento de reta posicionado na horizontal.

Apresente o resultado em centímetros.

cm

No cenário de um estúdio de televisão, foi desenhada uma linha poligonal, com segmentos de reta posicionados, alternadamente, na vertical e na horizontal.

No esquema da Figura 3, que não está à escala, representam-se sete dos segmentos de reta que constituem essa linha:

o primeiro segmento de reta, posicionado na vertical, tem 5 cm de comprimento;

o segundo segmento de reta, posicionado na horizontal, tem 8 cm de comprimento;

o terceiro segmento de reta, posicionado na vertical, tem 11 cm de comprimento;

e cada um dos segmentos de reta seguintes tem sempre mais 3 cm de comprimento do que o segmento de reta imediatamente anterior.

6.2. Se o comprimento total da linha poligonal for $15{,}5\text{ m}$, quantos serão os segmentos de reta que a constituem?

Justifique a sua resposta.

7. A Figura 5 é uma fotografia da Praça D. Pedro IV, em Lisboa, por volta de 1950, na qual se pode observar uma das suas fontes e o passeio que a circundava.

O esquema da Figura 6 representa a superfície ocupada pela fonte e pelo passeio.

Neste esquema, que não está à escala:

estão representadas duas circunferências concêntricas;

a região sombreada representa o passeio;

os pontos $O$ e $P$ pertencem à circunferência maior;

o segmento de reta $[OP]$ é tangente à circunferência menor no ponto $T$.

Admita que $\overline{OP} = 24\text{ m}$.

7.1. Determine a área da superfície ocupada pelo passeio.

Apresente o resultado em metros quadrados, arredondado às unidades.

Na sua resposta, designe por $R$ o raio da circunferência maior, designe por $r$ o raio da circunferência menor e comece por escrever uma expressão para a área pedida, em função de $R$ e de $r$.

7. A Figura 5 é uma fotografia da Praça D. Pedro IV, em Lisboa, por volta de 1950, na qual se pode observar uma das suas fontes e o passeio que a circundava.

O esquema da Figura 6 representa a superfície ocupada pela fonte e pelo passeio.

Neste esquema, que não está à escala:

estão representadas duas circunferências concêntricas;

a região sombreada representa o passeio;

os pontos $O$ e $P$ pertencem à circunferência maior;

o segmento de reta $[OP]$ é tangente à circunferência menor no ponto $T$.

Admita que $\overline{OP} = 24\text{ m}$.

7.2. Admita que, na circunferência maior da Figura 6, se fixa um referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, como se representa na Figura 7.

Relativamente a esta figura, que não está à escala, sabe-se que:

o segmento de reta $[OP]$ está contido na reta de equação $y = x$;

o ponto $Q$ pertence à circunferência e tem coordenadas $(-\sqrt{50},\, \sqrt{50})$.

A unidade no referencial é o metro.

Determine a área do triângulo $[OPQ]$.

Apresente o resultado em metros quadrados.

8. Ao largo da costa portuguesa, um petroleiro encalhou e começou a derramar crude.

Admita que a área, $S$, em quilómetros quadrados, da mancha de crude no oceano, $t$ horas após o instante em que o derrame foi detetado, é dada por

$$S(t) = 10 + 40 \ln(1{,}2t + 1{,}4)\quad, \text{ com } 0 \le t \le 24$$

8.1. Algum tempo depois do instante em que o derrame foi detetado, foi acionada uma equipa especializada, para intervir e minimizar o impacto ambiental do derrame.

Desde o instante em que a equipa foi acionada até ao instante em que esta chegou à zona do derrame, pronta a intervir, decorreram 3 horas e 45 minutos. Durante este intervalo de tempo, a área da mancha de crude duplicou.

Quanto tempo decorreu desde o instante em que o derrame foi detetado até ao instante em que a equipa foi acionada?

Apresente o resultado em minutos, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

min

8. Ao largo da costa portuguesa, um petroleiro encalhou e começou a derramar crude.

Admita que a área, $S$, em quilómetros quadrados, da mancha de crude no oceano, $t$ horas após o instante em que o derrame foi detetado, é dada por

$$S(t) = 10 + 40 \ln(1{,}2t + 1{,}4)\quad, \text{ com } 0 \le t \le 24$$

8.2. Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou, a $7\text{ quilómetros}$ da costa.

Verifique se a mancha de crude atingiu a costa nas vinte e quatro horas decorridas após o instante em que foi detetado o derrame.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.