Exame Nacional Matemática B 2026 · Época especial

1. O resultado das eleições presidenciais, em Portugal, é apurado pelo método da maioria absoluta.

Nas eleições presidenciais de 2026, em Portugal, nenhum candidato foi eleito vencedor à primeira volta, na qual se registaram $5\;769\;394$ votos validamente expressos.

Qual seria o número mínimo de votos que um candidato deveria ter tido para ser eleito vencedor à primeira volta?

2. Num certo dia, uma pessoa tomou, apenas uma vez, um determinado medicamento para uma dor. Após a toma, a concentração da substância ativa desse medicamento no sangue, ao longo do tempo, aumenta até atingir um valor máximo. Após o instante em que atinge o valor máximo, a concentração da substância ativa no sangue diminui, até ser nula.

Admita que a concentração da substância ativa do medicamento no sangue é nula, antes da toma e $24$ horas após a toma.

Seja $C$ a função que dá a concentração da substância ativa do medicamento no sangue, em $\text{mg/L}$, $x$ horas após a toma, com $0 < x < 24$.

Seja $T$ a função que dá a taxa instantânea de variação da função $C$, para cada instante $x$.

Na Figura 1, estão representados dois gráficos, A e B, em referencial cartesiano ortogonal.

Justifique que nem o Gráfico A nem o Gráfico B podem representar a função $T$.

Apresente uma justificação para cada um dos gráficos.

3. Dois amigos, o José e a Carla, decidiram registar os tempos de corrida de dez dos seus treinos de preparação para uma prova de atletismo, com o objetivo de os compararem.

Os tempos de corrida, em minutos, registados pelo José são os seguintes:

$$50\,\ 40\,\ 85\,\ 65\,\ 110\,\ 85\,\ 105\,\ 70\,\ 150\,\ 110$$

O diagrama de extremos e quartis da Figura 2 é relativo aos tempos de corrida, em minutos, registados pela Carla. Sabe-se que nenhum dos treinos da Carla teve a duração de $75$ minutos.

3.1.

De acordo com os dados apresentados, relativos aos dez treinos de cada amigo, qual das seguintes afirmações é falsa ?

()

3.2.

Sabe-se que a média dos tempos de corrida do conjunto dos vinte treinos dos dois amigos, José e Carla, é $84{,}5$ minutos.

Determine a média, em minutos, dos tempos de corrida da Carla.

3.3.

O José também registou a energia gasta, em quilocalorias, em outros dez treinos, verificando-se uma forte correlação linear entre os tempos de treino do José e a energia gasta nos respetivos treinos, conforme se pode observar no diagrama de dispersão da Figura 3.

Em qual das opções seguintes podem estar apresentados o valor de $r$, coeficiente de correlação linear, e uma equação da reta de regressão linear, referentes à distribuição representada no diagrama de dispersão da Figura 3?

()

Num jardim, pretende-se fazer um canteiro, com uma zona relvada e com uma zona destinada a flores, como se representa na Figura 4, em que:

o quadrado $[ABCD]$, com 8 m de lado, representa o canteiro;

o quadrado inscrito, $[EFGH]$, tal que $\overline{AE} = \overline{BF} = \overline{CG} = \overline{DH}$, representa a zona destinada a flores;

a zona sombreada no quadrado $[ABCD]$ representa a zona que se pretende relvar.

4.1. Seja $\overline{AE} = x$, em metros, com $0 < x < 8$.

4.1.1.

Mostre que a área, $a$, em metros quadrados, da zona destinada a flores é dada, em função de $x$, por

$$a(x) = 2x^2 - 16x + 64$$

4.1.2.

Determine o valor de $x$ para o qual a área da zona destinada a flores é mínima.

Num jardim, pretende-se fazer um canteiro, com uma zona relvada e com uma zona destinada a flores, como se representa na Figura 4, em que:

o quadrado $[ABCD]$, com 8 m de lado, representa o canteiro;

o quadrado inscrito, $[EFGH]$, tal que $\overline{AE} = \overline{BF} = \overline{CG} = \overline{DH}$, representa a zona destinada a flores;

a zona sombreada no quadrado $[ABCD]$ representa a zona que se pretende relvar.

4.2. Na Figura 4, que não está à escala, fixa-se um referencial cartesiano ortogonal e monométrico, tal que:

a origem coincide com o ponto $A$;

a unidade de medida é o metro;

o ponto $B$ pertence ao semieixo positivo das abcissas;

o ponto $D$ pertence ao semieixo positivo das ordenadas;

$\overline{AE} = 2$.

Indique, relativamente ao referencial descrito, as coordenadas dos vértices do quadrado $[EFGH]$.

$E($

,

$)$

$F($

,

$)$

$G($

,

$)$

$H($

,

$)$

O estudo da influência da temperatura na massa volúmica de sumos é muito útil em produção industrial. Um grupo de investigadores estudou, experimentalmente, a influência da temperatura na massa volúmica de um sumo de laranja.

Admita que, em certas condições, o valor da massa volúmica, $M(x)$, em quilogramas por metro cúbico ($\text{kg m}^{-3}$), do sumo de laranja submetido à temperatura de $x$ graus Celsius ($^\text{o}\text{C}$) é dado por

$$M(x) = 0{,}000045x^3 - 0{,}00155x^2 - 0{,}352x + 1061{,}66 \text{, para } 20 \le x \le 50$$

5.1.

Determine a que temperatura terá de ser submetido o sumo de laranja, de modo que a sua massa volúmica seja igual a $1050\text{ kg m}^{-3}$.

Apresente o valor pedido em $^{\circ}\text{C}$, arredondado às décimas.

$^{\circ}\text{C}$

O estudo da influência da temperatura na massa volúmica de sumos é muito útil em produção industrial. Um grupo de investigadores estudou, experimentalmente, a influência da temperatura na massa volúmica de um sumo de laranja.

Admita que, em certas condições, o valor da massa volúmica, $M(x)$, em quilogramas por metro cúbico ($\text{kg m}^{-3}$), do sumo de laranja submetido à temperatura de $x$ graus Celsius ($^\text{o}\text{C}$) é dado por

$$M(x) = 0{,}000045x^3 - 0{,}00155x^2 - 0{,}352x + 1061{,}66 \text{, para } 20 \le x \le 50$$

5.2.

Mostre que a taxa média de variação da função $M$ no intervalo $[30, 40]$ é igual a $-0{,}294\text{ kg m}^{-3}/^{\circ}\text{C}$ e interprete esse valor no contexto da situação descrita.

Apresente os cálculos efetuados para a taxa média de variação e a respetiva interpretação contextual.

6. O Aníbal tem quatro dados cúbicos iguais.

6.1.

Os quatro dados são equilibrados e cada um tem uma ou mais faces pintadas de verde e a(s) restante(s) pintada(s) de azul. Cada face está pintada de uma só cor.

Considere a experiência aleatória que consiste em lançar os quatro dados e anotar o número de faces pintadas de verde que ficam voltadas para cima.

Na Tabela 1, apresenta-se o modelo de probabilidade referente à experiência aleatória descrita.

Tabela 1 N.º de faces pintadas de verde voltadas para cima · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

Probabilidade · $\frac{1}{16}$ · $\frac{1}{4}$ · $\frac{3}{8}$ · $\frac{1}{4}$ · $\frac{1}{16}$

Determine o número de faces pintadas de azul e o número de faces pintadas de verde, em cada dado, de acordo com a Tabela 1.

6. O Aníbal tem quatro dados cúbicos iguais.

6.2. Na Figura 5, estão representados, em referencial ortogonal e monométrico $Oxyz$, os quatro dados cúbicos geometricamente iguais, com $1\text{ cm}$ de aresta.

Sabe-se que:

a unidade no referencial é o centímetro;

a origem do referencial coincide com um dos vértices de um cubo;

os cubos estão colocados com as faces justapostas, de modo que as arestas dessas faces sejam coincidentes e que os vértices $A$, $D$ e $R$ pertençam, respetivamente, aos semieixos positivos $Ox$, $Oy$ e $Oz$.

Qual das seguintes condições define a face $[AGPH]$?

()

Um saco opaco contém cinco bolas, duas brancas e três pretas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 5.

As bolas com os números 1 e 2 são brancas e as bolas com os números 3, 4 e 5 são pretas.

Vai retirar-se, ao acaso, uma bola do saco.

Considere os acontecimentos:

$A$: «A bola retirada é branca.»

$B$: «A bola retirada tem um número ímpar.»

Averigue se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes.

8. A Tabela 2 é uma parte da tabela de retenção na fonte de IRS, em Portugal, para o continente, entre 1 de outubro e 31 de dezembro de 2025, disponível no Portal das Finanças, com a fórmula utilizada para o cálculo do valor da retenção na fonte para trabalhadores dependentes, nesse período.

O Ângelo é casado (2 titulares), tem 3 filhos (dependentes) e tem residência fiscal no continente.

Sabe-se que, na empresa em que trabalha, no mês de dezembro de 2025:

a sua remuneração (salário bruto) foi $2100$ €;

o valor da retenção na fonte de IRS foi apurado de acordo com a Tabela 2;

recebeu $110$ € de subsídio de refeição;

descontou $231$ € para a Segurança Social.

Determine o valor do salário líquido do Ângelo, no mês de dezembro de 2025.

€