Exame Nacional Matemática B 2022 · 1.ª fase

1. Uma empresa do sector dos lanifícios produz dois tipos de tecido: TA e TB.

A produção de cada rolo de tecido TA necessita de 1 hora no tanque de lavagem, 1 hora na banca de coloração e 4 horas na máquina de acabamento.

A produção de cada rolo de tecido TB necessita de 2 horas no tanque de lavagem, 1 hora na banca de coloração e 1 hora na máquina de acabamento.

Para a produção dos rolos destes dois tipos de tecido, a empresa dispõe de 160 horas no tanque de lavagem, 100 horas na banca de coloração e 280 horas na máquina de acabamento.

A empresa tem assegurados o lucro de 120 euros por cada rolo de tecido TA produzido e o lucro de 80 euros por cada rolo de tecido TB produzido.

Determine quantos rolos de tecido TA e quantos rolos de tecido TB a empresa deve produzir para obter o lucro total máximo na produção destes tecidos.

Na sua resposta, designe por $x$ o número de rolos de tecido TA e por $y$ o número de rolos de tecido TB a produzir pela empresa, e apresente:

a função objetivo;

as restrições do problema;

uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;

o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema.

No âmbito do desporto escolar, a Leonor completou uma prova de corta-mato em $15{,}3$ minutos, num circuito previamente demarcado no terreno.

Seja $d$ a função que dá a distância em linha reta, em metros, da Leonor ao ponto de partida, $t$ minutos após o início da sua prova, até cruzar a meta.

Admita que $d$ pode ser definida por

$$d(t) = 0{,}02t\,(0{,}6t - 9)^2\,(0{,}4t - 4)^2\,\mathrm{e}^{0{,}45t}, \quad \text{com } 0 \le t \le 15{,}3$$

2.1.

Determine a distância em linha reta da meta ao ponto de partida.

Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

Se proceder a cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

2.2.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, durante quanto tempo da prova é que a distância em linha reta da Leonor ao ponto de partida foi superior a 154 metros.

Apresente o resultado em minutos e segundos, com os segundos arredondados às unidades.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

min

s

No âmbito do desporto escolar, a Leonor completou uma prova de corta-mato em $15{,}3$ minutos, num circuito previamente demarcado no terreno.

Seja $d$ a função que dá a distância em linha reta, em metros, da Leonor ao ponto de partida, $t$ minutos após o início da sua prova, até cruzar a meta.

Admita que $d$ pode ser definida por

$$d(t) = 0{,}02t\,(0{,}6t - 9)^2\,(0{,}4t - 4)^2\,\mathrm{e}^{0{,}45t}, \quad \text{com } 0 \le t \le 15{,}3$$

2.3. Seja $V$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $d$, para cada valor de $t$.

Interprete, no contexto descrito, o significado de $V(11) \approx 58{,}4$.

A Leonor decidiu construir um castelo com cartas de jogar, tal como mostra a Figura 1.

Para o fazer, a Leonor procedeu do seguinte modo:

na primeira fila, colocou 20 cartas inclinadas e 9 cartas horizontais;

na segunda fila, colocou 18 cartas inclinadas e 8 cartas horizontais;

na terceira fila, colocou 16 cartas inclinadas e 7 cartas horizontais;

e assim sucessivamente, até à décima fila, em que colocou apenas 2 cartas inclinadas.

3.1. Considere a sequência em que cada termo é o número de cartas colocadas em cada fila, da primeira à décima.

Justifique que os termos desta sequência são termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Na sua resposta, indique a razão dessa progressão.

A Leonor decidiu construir um castelo com cartas de jogar, tal como mostra a Figura 1.

Para o fazer, a Leonor procedeu do seguinte modo:

na primeira fila, colocou 20 cartas inclinadas e 9 cartas horizontais;

na segunda fila, colocou 18 cartas inclinadas e 8 cartas horizontais;

na terceira fila, colocou 16 cartas inclinadas e 7 cartas horizontais;

e assim sucessivamente, até à décima fila, em que colocou apenas 2 cartas inclinadas.

3.2. A construção completa de qualquer castelo de cartas deste tipo termina sempre com a fila que tem apenas $2$ cartas, independentemente do número de filas do castelo.

Se a Leonor conseguisse construir um destes castelos com $100$ filas, quantas cartas teria de utilizar?

Justifique a sua resposta.

O avô da Leonor vai construir, no seu jardim, um pequeno canteiro retangular.

A área, $A$, em metros quadrados, do canteiro, em função da medida, $x$, em metros, de um dos lados, é dada por

$$A(x) = 6x - x^2 \text{, com } 0 < x < 6$$

4.1. Determine o perímetro do canteiro que o avô da Leonor vai construir.

Na sua resposta, comece por obter uma expressão para a medida do outro lado do retângulo, em função de $x$.

O avô da Leonor vai construir, no seu jardim, um pequeno canteiro retangular.

A área, $A$, em metros quadrados, do canteiro, em função da medida, $x$, em metros, de um dos lados, é dada por

$$A(x) = 6x - x^2 \text{, com } 0 < x < 6$$

4.2. Determine a área máxima que o canteiro pode ter.

Apresente o resultado em metros quadrados.

5. Numa escola, foi registado o peso*, em quilogramas, das mochilas dos alunos que frequentam o 2.º ano de escolaridade. Os dados foram organizados no histograma representado na Figura 2.

* A palavra «peso» é utilizada na sua aceção corrente, como sinónimo de massa.

Determine, de acordo com o histograma, a média dos pesos das mochilas dos alunos do 2.º ano de escolaridade dessa escola.

Apresente o resultado em quilogramas, arredondado às centésimas.

kg

6. A Organização Mundial da Saúde (OMS) recomenda que as crianças e os jovens em idade escolar (dos 6 aos 18 anos) não carreguem mochilas cujo peso* exceda $10\%$ do peso do seu corpo.

* A palavra «peso» é utilizada na sua aceção corrente, como sinónimo de massa.

Admita que o peso dos alunos que frequentam o 1.º ano de escolaridade de uma escola segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio $22$ quilogramas e desvio padrão $1$ quilograma.

Num certo dia, foi necessário transportar uma mochila com o peso de $2{,}4$ quilogramas para a biblioteca. Foi indicado, ao acaso, um aluno do 1.º ano para transportar essa mochila.

Determine a probabilidade de não ter sido respeitada a recomendação da OMS nesta situação.

Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

%

7. A calçada portuguesa é uma forma de arte urbana em que os motivos geométricos são muito utilizados.

A fotografia da Figura 3 mostra parte do pavimento de um passeio em calçada portuguesa, cujo desenho é obtido a partir de uma composição de semicircunferências. Estas têm raios iguais e encontram-se dispostas em colunas, como sugere o esquema da Figura 4.

No esquema da Figura 4:

em cada coluna, estão representadas uma semicircunferência e metade de outra semicircunferência, tangentes entre si, com os centros assinalados e alguns raios representados a traço interrompido;

a semicircunferência que pertence a uma dada coluna, exceto a primeira, tem um dos seus pontos extremos sobre o ponto médio da semicircunferência da coluna imediatamente à esquerda.

Admita que o raio de cada semicircunferência do pavimento mede $20\text{ cm}$.

7.1.

A Figura 5 representa parte do pavimento daquele passeio.

Determine a área da região representada a sombreado na Figura 5.

Apresente o resultado em centímetros quadrados.

7. A calçada portuguesa é uma forma de arte urbana em que os motivos geométricos são muito utilizados.

A fotografia da Figura 3 mostra parte do pavimento de um passeio em calçada portuguesa, cujo desenho é obtido a partir de uma composição de semicircunferências. Estas têm raios iguais e encontram-se dispostas em colunas, como sugere o esquema da Figura 4.

No esquema da Figura 4:

em cada coluna, estão representadas uma semicircunferência e metade de outra semicircunferência, tangentes entre si, com os centros assinalados e alguns raios representados a traço interrompido;

a semicircunferência que pertence a uma dada coluna, exceto a primeira, tem um dos seus pontos extremos sobre o ponto médio da semicircunferência da coluna imediatamente à esquerda.

Admita que o raio de cada semicircunferência do pavimento mede $20\text{ cm}$.

7.2. Num dos motivos utilizados no pavimento, esquematizado na Figura 5, fixou-se um referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, como se representa na Figura 6.

Nesta figura:

o ponto $P$ é um dos extremos do diâmetro da semicircunferência;

o centro da semicircunferência pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o ponto $O$ é o ponto de tangência de dois arcos contidos nas duas semicircunferências cujos centros pertencem ao eixo $Oy$.

No referencial, a unidade é o centímetro.

Seja $Q$ o transformado do ponto $P$ pela rotação de centro no ponto $O$ e de amplitude $-585^\circ$.

Determine as coordenadas exatas do ponto $Q$.

Na sua resposta, comece por indicar as coordenadas do ponto $P$.

1.

$($ $,$ $)$

2.

$($ $,$ $)$

No verão passado, o João esteve a observar os pássaros que voavam perto da casa do avô.

Um pássaro descrevia um voo horizontal em linha reta quando, em certo momento, observou um alimento no ramo de uma árvore, à mesma altura do voo que estava a efetuar. Para se aproximar do alimento, o pássaro descreveu, no mesmo plano horizontal, um arco de circunferência.

A situação, vista de cima, está representada no esquema da Figura 7. Nesta figura, que não está à escala:

o segmento de reta $[AB]$ representa o voo inicial do pássaro, em linha reta;

o ponto $C$ representa a localização do alimento;

o ponto $O$ representa o centro da circunferência que contém o arco $BC$ descrito pelo pássaro;

a circunferência de centro $O$ é tangente à reta $AB$ no ponto $B$;

$r$ é o raio da circunferência, em metros;

$\alpha$ é a amplitude, em graus, do ângulo agudo que a reta $AB$ faz com o segmento de reta $[BC]$;

$d$ é a distância de $B$ a $C$, em metros.

8.1. Mostre que $r = \dfrac{d}{2\operatorname{sen}\alpha}$.

Na sua resposta, comece por decompor o triângulo $[BOC]$ pela altura relativa a $[BC]$.

No verão passado, o João esteve a observar os pássaros que voavam perto da casa do avô.

Um pássaro descrevia um voo horizontal em linha reta quando, em certo momento, observou um alimento no ramo de uma árvore, à mesma altura do voo que estava a efetuar. Para se aproximar do alimento, o pássaro descreveu, no mesmo plano horizontal, um arco de circunferência.

A situação, vista de cima, está representada no esquema da Figura 7. Nesta figura, que não está à escala:

o segmento de reta $[AB]$ representa o voo inicial do pássaro, em linha reta;

o ponto $C$ representa a localização do alimento;

o ponto $O$ representa o centro da circunferência que contém o arco $BC$ descrito pelo pássaro;

a circunferência de centro $O$ é tangente à reta $AB$ no ponto $B$;

$r$ é o raio da circunferência, em metros;

$\alpha$ é a amplitude, em graus, do ângulo agudo que a reta $AB$ faz com o segmento de reta $[BC]$;

$d$ é a distância de $B$ a $C$, em metros.

8.2. Na parte do voo em linha reta, o pássaro percorreu $12\text{ metros}$.

Relativamente à parte do voo em que descreveu o arco de circunferência, sabe-se que $r = 10\text{ m}$ e $d = 18\text{ m}$.

Determine a distância total percorrida pelo pássaro.

Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Note que $r = \dfrac{d}{2\operatorname{sen}\alpha}$.