Exame Nacional Matemática B 2025 · Época especial

Num concurso de aeromodelismo, realizado num terreno plano, o tempo de voo e a altura atingida por cada avião são alguns dos parâmetros avaliados.

Considere a função $h$ definida por

$$h(t) = -0{,}6t^3 + 4{,}7t^2 - 8{,}5t + 6{,}1$$ em que $h(t)$ é a altura, em metros, relativamente ao solo, atingida por um avião do concurso, em cada instante $t$, em minutos, desde o instante em que o júri iniciou a avaliação do voo do avião até ao instante em que este aterrou no solo.

1.1.

Complete o texto, de acordo com o modelo apresentado, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II e III, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada.

«O voo avaliado pelo júri durou cerca de minutos. Durante esse voo, a altura máxima atingida pelo avião foi cerca de metros. No instante em que se iniciou a avaliação, a taxa de variação instantânea da função $h$ é.»

1.3.

Determine os instantes em que a altura atingida pelo avião foi igual a $5$ metros, no voo avaliado pelo júri.

Apresente os valores pedidos em minutos, arredondados às centésimas.

$t_1$:

$t_2$:

$t_3$:

Num concurso de aeromodelismo, realizado num terreno plano, o tempo de voo e a altura atingida por cada avião são alguns dos parâmetros avaliados.

Considere a função $h$ definida por

$$h(t) = -0{,}6t^3 + 4{,}7t^2 - 8{,}5t + 6{,}1$$ em que $h(t)$ é a altura, em metros, relativamente ao solo, atingida por um avião do concurso, em cada instante $t$, em minutos, desde o instante em que o júri iniciou a avaliação do voo do avião até ao instante em que este aterrou no solo.

1.2.

Determine a taxa média de variação da altura atingida pelo avião entre os $2$ e os $4$ minutos após o início da avaliação deste voo.

Apresente o valor pedido em metros por minuto.

metros por minuto

2. No âmbito do Plano Nacional de Leitura, têm sido realizados vários estudos sobre os hábitos de leitura e sobre o número de visitas às bibliotecas públicas portuguesas dos residentes em Portugal. Num dos estudos, foram analisados os hábitos de leitura desde o final do século passado até ao início deste século.

Com base em dados recolhidos pelo Instituto Nacional de Estatística, construiu-se a seguinte tabela, em que se apresentam, para os anos indicados, o número de utilizadores registados nas bibliotecas públicas, $x$, em milhares, e o correspondente número de documentos requisitados, $y$, também em milhares.

Ano

N.º de utilizadores registados, em milhares

($x$)

N.º de documentos requisitados, em milhares

($y$)

1990 · 2037 · 1956

1992 · 2120 · 2170

1994 · 3507 · 3095

1996 · 4369 · 3756

1998 · 6368 · 4493

2000 · 9992 · 5397

2002 · 11 893 · 6380

Fonte: INE, consultado em 26 de setembro de 2024

2.1.

Admita válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$, obtido a partir dos dados apresentados na tabela, e admita que, em 1999, existiam 9262 milhares de utilizadores registados nas bibliotecas públicas.

Estime, com base nesse modelo, o número de documentos requisitados nas bibliotecas públicas, em 1999.

Na sua resposta, apresente:

– os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, com quatro casas decimais;

– o valor pedido em milhares, arredondado às unidades.

milhares

2.2.

Complete o texto, de acordo com os dados apresentados, selecionando a opção correta para cada espaço.

«O número médio de utilizadores registados nas bibliotecas públicas para os anos indicados na tabela é, aproximadamente,

milhares de utilizadores por ano. A mediana do respetivo número de documentos requisitados é

milhares.

O número de utilizadores registados nas bibliotecas públicas em 1990 é cerca de

do número de utilizadores registados nas bibliotecas públicas em 2002.»

3. A Figura 1 é uma fotografia de dois reservatórios de água, verticais, instalados no telhado de um edifício.

A Figura 2 é um esquema simplificado de um desses reservatórios, em que se representam um cone reto, um cilindro reto, com $3\text{ m}$ de altura, e uma semiesfera, com $4\text{ m}$ de diâmetro, justapostos, e em que se assinala a altura da superfície da água num dado momento.

A superfície lateral do cone corresponde à cobertura do reservatório.

Admita que a capacidade do reservatório corresponde ao volume total do cilindro e da semiesfera, ou seja, que a parte cónica do reservatório não é ocupada com água.

3.1. Determine a altura da superfície da água no reservatório, quando este está a metade da sua capacidade.

Apresente o valor pedido em metros, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

3. A Figura 1 é uma fotografia de dois reservatórios de água, verticais, instalados no telhado de um edifício.

A Figura 2 é um esquema simplificado de um desses reservatórios, em que se representam um cone reto, um cilindro reto, com $3\text{ m}$ de altura, e uma semiesfera, com $4\text{ m}$ de diâmetro, justapostos, e em que se assinala a altura da superfície da água num dado momento.

A superfície lateral do cone corresponde à cobertura do reservatório.

Admita que a capacidade do reservatório corresponde ao volume total do cilindro e da semiesfera, ou seja, que a parte cónica do reservatório não é ocupada com água.

3.2. Na Figura 3, está representado um esquema da superfície lateral do cone correspondente à cobertura do reservatório.

Sabe-se que:

• o ponto $V$ é o vértice do cone;

• o ponto $C$ é o centro da base do cone;

• o ponto $A$ é um ponto da circunferência da base do cone;

• $C\hat{A}V = 31^\circ$.

Determine a área da cobertura do reservatório.

Apresente o valor pedido em metros quadrados, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

3. A Figura 1 é uma fotografia de dois reservatórios de água, verticais, instalados no telhado de um edifício.

A Figura 2 é um esquema simplificado de um desses reservatórios, em que se representam um cone reto, um cilindro reto, com $3\text{ m}$ de altura, e uma semiesfera, com $4\text{ m}$ de diâmetro, justapostos, e em que se assinala a altura da superfície da água num dado momento.

A superfície lateral do cone corresponde à cobertura do reservatório.

Admita que a capacidade do reservatório corresponde ao volume total do cilindro e da semiesfera, ou seja, que a parte cónica do reservatório não é ocupada com água.

3.3. Na Figura 4, estão representados, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxyz$, o esquema do reservatório da Figura 2 e os pontos $C$, centro da base do cone, e $V$, vértice do cone.

Sabe-se que:

os pontos $C$ e $V$ pertencem ao semieixo positivo $Oz$;

o ponto $O$ é o centro da base do cilindro que está contida no plano $xOy$.

No referencial, a unidade de comprimento é o metro.

Qual das equações seguintes define o plano que contém a base do cone?

()

3. A Figura 1 é uma fotografia de dois reservatórios de água, verticais, instalados no telhado de um edifício.

A Figura 2 é um esquema simplificado de um desses reservatórios, em que se representam um cone reto, um cilindro reto, com $3\text{ m}$ de altura, e uma semiesfera, com $4\text{ m}$ de diâmetro, justapostos, e em que se assinala a altura da superfície da água num dado momento.

A superfície lateral do cone corresponde à cobertura do reservatório.

Admita que a capacidade do reservatório corresponde ao volume total do cilindro e da semiesfera, ou seja, que a parte cónica do reservatório não é ocupada com água.

3.4. Suponha que, num dado instante, o reservatório está cheio e começa a perder água, pelo fundo, com débito constante, até ficar vazio.

Seja $f$ a função que dá a altura da superfície da água no reservatório, em metros, $t$ dias após o instante em que o reservatório começa a perder água.

Qual dos seguintes gráficos é uma representação da função $f$ ?

4. Num campeonato de jogos matemáticos, participam alunos do ensino secundário com 15, 16 ou 17 anos, oriundos de várias escolas, como, por exemplo, a escola A.

Durante o campeonato, é sorteado um aluno para receber um prémio.

Considere os acontecimentos:

$A$: «O aluno sorteado é da escola A.»

$I$: «O aluno sorteado tem 15 anos.»

Na Figura 5, está representado o diagrama de Venn associado à situação descrita. Os valores apresentados no diagrama correspondem às probabilidades dos respetivos acontecimentos.

Considere as afirmações seguintes.

I) No campeonato de jogos matemáticos, participa, pelo menos, um aluno da escola A com 15 anos.

II) A probabilidade de o aluno sorteado ter 16 ou 17 anos e ser da escola A é igual à probabilidade de o aluno sorteado ter 15 anos e não ser da escola A.

Justifique que a afirmação I) é verdadeira e que a afirmação II) é falsa.

Apresente uma razão para cada afirmação.

I)

II)

5. A Figura 6 é uma fotografia da ponte Alexandre III, construída sobre o rio Sena, em Paris. Esta ponte tem uma estrutura em arco que suporta o tabuleiro.

Admita que o nível da água do rio é constante e que a distância, $d$, em metros, de um ponto da estrutura em arco à superfície da água é dada, em função de $x$, por

$$d(x) = -0{,}0021x^2 + 0{,}2247x$$

em que $x$ é a distância, em metros, medida na horizontal, da projeção ortogonal do respetivo ponto do arco na superfície da água ao ponto da margem do rio, também na superfície da água, representado por $O$ na Figura 7.

Uma empresa organiza passeios de barco no rio, num percurso que inclui a passagem por baixo da ponte Alexandre III.

Admita que a altura máxima permitida para as embarcações é de $3{,}2$ metros acima da superfície da água e que a empresa irá colocar bóias fixas no rio, formando um canal de passagem, para que, nesse canal, todas as embarcações passem sem embater na ponte.

Determine a largura máxima do canal de passagem formado pelas bóias fixas no rio.

Apresente o resultado em metros, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, utilize valores arredondados com quatro casas decimais.

m

6. A Figura 8 é uma fotografia de duas facas de vindima de origem romana, provenientes do Alentejo, e a Figura 9 é um esquema de uma vista simplificada de uma dessas facas.

Nesse esquema, que não está à escala, estão assinalados os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$, tais que:

os arcos $AB$ e $AC$ são semicircunferências;

o ponto $B$ pertence ao segmento de reta $[AC]$;

$\overline{AB} = \frac{2}{3}\overline{AC}$;

$[BCDE]$ é um quadrado.

Admita que $\overline{AC} = 18\text{ cm}$.

Determine o perímetro da vista simplificada da faca representada na Figura 9.

Apresente o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

7. Um banco disponibiliza uma solução de poupança com as características seguintes:

depósito com um prazo de $8$ anos;

taxa de juro anual de $1{,}2\,\%$, na modalidade de juro composto, ou seja, no final do primeiro ano é acrescentado ao capital inicial $1{,}2\,\%$ desse capital e, no final de cada ano, a partir daí, é acrescentado ao capital acumulado até esse ano $1{,}2\,\%$ desse capital acumulado.

Determine o capital final acumulado num depósito, de acordo com esta solução de poupança, se o capital inicial aplicado for $3000$ euros.

Apresente o valor pedido em euros, arredondado às centésimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve quatro casas decimais.

8. Considere um triângulo equilátero, $[ABC]$. Fixada uma unidade de medida, tem-se $\overline{AB} = 1$.

Na Figura 10, está representada uma construção com quatro triângulos equiláteros, que começou a ser elaborada a partir do triângulo $[ABC]$. O segundo triângulo desta construção obteve-se unindo os pontos médios dos lados do triângulo $[ABC]$, o terceiro triângulo obteve-se unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, e o quarto triângulo obteve-se, de modo semelhante, a partir do terceiro.

Admita que se continua esta construção, do modo acima descrito, até se obter o décimo triângulo.

Determine o perímetro do décimo triângulo.

Apresente o valor pedido arredondado às milésimas.

Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.