Exame Nacional Matemática B 2022 · 2.ª fase

1. A Inês está a fazer um plano de treinos que inclui corrida. Em cada treino de corrida, utilizou uma aplicação para obter a distância percorrida e a energia gasta.

Na tabela ao lado, apresentam-se os valores registados em alguns desses treinos, sendo $x$ a distância percorrida, em $\text{km}$, e $y$ a correspondente energia gasta, em calorias.

Distância percorrida em km

($x$) · Energia gasta em calorias

($y$)

5 · 340

6,5 · 450

7 · 478

7,7 · 515

8 · 550

8,6 · 580

9,4 · 630

Admita como válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ obtido a partir dos dados apresentados nesta tabela.

Num dos treinos de corrida, a aplicação não funcionou corretamente, mas a Inês sabe que, nesse treino, correu $9\text{ km}$.

Estime, com base nesse modelo de regressão linear, a energia, em calorias, gasta pela Inês nesse treino de corrida.

Na sua resposta, apresente:

– os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, arredondados às centésimas;

– o valor pedido arredondado às unidades.

2. Num ginásio, vão ser indicadas, ao acaso, duas pessoas de uma aula de dança, para exemplificar uma coreografia.

Considere a variável aleatória $Y$ «número de homens indicados para exemplificar a coreografia».

Sabe-se que $P(Y = 0) = \frac{9}{65}$ e que $P(Y = 1) = \frac{32}{65}$.

Seja $X$ a variável aleatória «número de mulheres indicadas para exemplificar a coreografia».

Determine o valor médio da variável aleatória $X$.

Na sua resposta, apresente:

– a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória $X$;

– o valor pedido arredondado às centésimas.

Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

$x_i$ · $0$ · $1$ · $2$

$P(X = x_i)$

Uma empresa de construção civil dispõe de uma licença da câmara municipal para construção de apartamentos T2 e de apartamentos T3 numa determinada zona urbana desse município.

Cada apartamento T2 vai ser vendido por $150\,000$ euros, e cada apartamento T3 vai ser vendido por $250\,000$ euros.

A licença da câmara municipal obriga ao cumprimento das seguintes condições:

o número de apartamentos T2 construídos não deve exceder o dobro do número de apartamentos T3 construídos;

o número de apartamentos T3 construídos não deve exceder o triplo do número de apartamentos T2 construídos;

o número total de apartamentos construídos não deve exceder $60$.

Determine o valor máximo que a empresa poderá receber, em euros, com a venda de todos os apartamentos construídos.

Na sua resposta, designe por $x$ o número de apartamentos T2 e por $y$ o número de apartamentos T3 a construir pela empresa, e apresente:

a função objetivo;

as restrições do problema;

uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;

o valor pedido.

euros

Um agente imobiliário dispõe de 60 apartamentos para arrendar.

Devido às flutuações do mercado de arrendamento, o agente decidiu fixar o valor das rendas, arrendando todos os apartamentos pelo mesmo valor.

O agente admite que o mercado de arrendamento satisfaz as seguintes condições:

se o valor da renda por apartamento for 0 euros, todos os apartamentos serão arrendados;

se o valor da renda por apartamento for 3000 euros, não será arrendado qualquer apartamento;

para valores da renda por apartamento entre 0 euros e 3000 euros, por cada 50 euros de aumento da renda por apartamento, será arrendado menos um apartamento.

Esta situação foi traduzida para o seguinte modelo linear:

$$N(p) = -\frac{1}{50} p + 60\quad \text{, com } 0 \le p \le 3000$$ em que $p$ é o valor da renda, em euros, e $N(p)$ é o número de apartamentos arrendados por $p$ euros.

Mostre que o modelo apresentado satisfaz as três condições referidas.

Um agente imobiliário dispõe de 60 apartamentos para arrendar.

Devido às flutuações do mercado de arrendamento, o agente decidiu fixar o valor das rendas, arrendando todos os apartamentos pelo mesmo valor.

O agente admite que o mercado de arrendamento satisfaz as seguintes condições:

se o valor da renda por apartamento for 0 euros, todos os apartamentos serão arrendados;

se o valor da renda por apartamento for 3000 euros, não será arrendado qualquer apartamento;

para valores da renda por apartamento entre 0 euros e 3000 euros, por cada 50 euros de aumento da renda por apartamento, será arrendado menos um apartamento.

Esta situação foi traduzida para o seguinte modelo linear:

$$N(p) = -\frac{1}{50} p + 60\quad \text{, com } 0 \le p \le 3000$$ em que $p$ é o valor da renda, em euros, e $N(p)$ é o número de apartamentos arrendados por $p$ euros.

O rendimento, $R$, em euros, que o agente imobiliário obterá é dado por

$$R(p) = p \times N(p)$$ Determine o valor da renda por apartamento a que corresponde o maior rendimento possível, de acordo com os modelos apresentados.

euros

5. Seja $f$ a função que dá a altitude, em metros, de cada ponto de um percurso de $40\text{ km}$, ao longo de uma prova de BTT, para cada valor da distância percorrida, $x$, em quilómetros, desde o ponto de partida.

Admita que

$$f(x) = 600 + 0{,}004\left(x^3 - 50x^2 + 400x\right)e^{0{,}01x - 1}, \quad \text{com } 0 \le x \le 40$$

5.1.

Determine a diferença entre as altitudes do ponto de partida e do ponto de chegada da prova de BTT.

5.2.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o número total de quilómetros da prova de BTT em que a altitude é superior a $598$ metros.

Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

6. O Tomé faz treinos de bicicleta, no ginásio, para se preparar para as provas de BTT em que participa.

Seja $T$ a função que dá a taxa de variação instantânea do valor da velocidade registado na bicicleta do Tomé durante um desses treinos, $x$ minutos após o seu início.

Na Figura 1, apresenta-se o gráfico da função $T$, com $0 \le x \le 35$.

Tal como a figura ilustra, os zeros da função $T$ são $0$, $16$ e $32$.

Em que instante é que a velocidade foi máxima durante esse treino?

Justifique a sua resposta.

a)

b)

7. Na Figura 2, está representado um friso constituído por cinco azulejos retangulares e iguais.

Cada azulejo apresenta dois quartos de círculo de raio igual à largura do azulejo.

Na Figura 3, está representado um azulejo, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$.

Nesta figura, que não está à escala:

o retângulo $[OABC]$ representa o azulejo;

o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o ponto $C$ tem coordenadas $(0,12)$;

os pontos $D$ e $E$ pertencem a $[OC]$;

o arco de circunferência $AE$ tem centro no ponto $O$, e o arco de circunferência $DB$ tem centro no ponto $C$;

a reta $DB$ é definida pela equação $y = x + 7$.

No referencial, a unidade é o centímetro.

7.1. Determine a área da região sombreada nos cinco azulejos do friso representado na Figura 2.

Na sua resposta, apresente o resultado em centímetros quadrados, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

7. Na Figura 2, está representado um friso constituído por cinco azulejos retangulares e iguais.

Cada azulejo apresenta dois quartos de círculo de raio igual à largura do azulejo.

Na Figura 3, está representado um azulejo, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$.

Nesta figura, que não está à escala:

o retângulo $[OABC]$ representa o azulejo;

o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o ponto $C$ tem coordenadas $(0,12)$;

os pontos $D$ e $E$ pertencem a $[OC]$;

o arco de circunferência $AE$ tem centro no ponto $O$, e o arco de circunferência $DB$ tem centro no ponto $C$;

a reta $DB$ é definida pela equação $y = x + 7$.

No referencial, a unidade é o centímetro.

7.2. Na Figura 4, os retângulos $[UPQT]$ e $[RSTQ]$ representam os dois primeiros azulejos do friso.

O retângulo $[RSTQ]$ é o transformado do retângulo $[UPQT]$ por meio de uma rotação.

Identifique o centro e a amplitude dessa rotação.

8. Na Figura 5, esquematizam-se as três primeiras etapas da construção de uma sequência de quadrados.

Como a figura ilustra:

na etapa 1, considera-se um quadrado inicial, de lado $L\text{ cm}$, o quadrado de ordem 1;

na etapa 2, unem-se os pontos médios do quadrado de ordem 1, obtendo-se o quadrado de ordem 2;

na etapa 3, unem-se os pontos médios do quadrado de ordem 2, obtendo-se o quadrado de ordem 3;

e assim sucessivamente, obtendo-se uma sequência de quadrados inscritos uns nos outros.

8.1.

Mostre que a área do quadrado de ordem $n$ desta sequência pode ser dada, em centímetros quadrados, por $$A_n = L^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

8. Na Figura 5, esquematizam-se as três primeiras etapas da construção de uma sequência de quadrados.

Como a figura ilustra:

na etapa 1, considera-se um quadrado inicial, de lado $L\text{ cm}$, o quadrado de ordem 1;

na etapa 2, unem-se os pontos médios do quadrado de ordem 1, obtendo-se o quadrado de ordem 2;

na etapa 3, unem-se os pontos médios do quadrado de ordem 2, obtendo-se o quadrado de ordem 3;

e assim sucessivamente, obtendo-se uma sequência de quadrados inscritos uns nos outros.

8.2.

Sabe-se que o quadrado de ordem $12$ da sequência tem $0{,}5\text{ cm}^2$ de área.

Determine o valor de $L$.

Note que a área do quadrado de ordem $n$ desta sequência pode ser dada, em centímetros quadrados, por $A_n = L^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Nas Bucólicas, de Vergílio, pode ler-se o seguinte verso:

«e o Sol duplica, declinando, as sombras crescentes.» Vergílio, Bucólicas, II, 67, tradução de Frederico Lourenço, Lisboa, Quetzal, 2021.

A observação que inspira o poeta é feita no final do dia e demora um quarto de hora.

O esquema da Figura 6 ilustra a situação.

Neste esquema, que não está à escala:

$[AB]$ representa uma árvore;

$[BC]$ representa a sombra da árvore no início da observação;

$[BD]$ representa a sombra da árvore no fim da observação;

$\overline{BD} = 2\,\overline{BC}$;

$\alpha$ é a amplitude, em graus, do ângulo $BAC$;

$\beta$ é a amplitude, em graus, do ângulo $BAD$.

9.1. Mostre que $\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha$.

Nas Bucólicas, de Vergílio, pode ler-se o seguinte verso:

«e o Sol duplica, declinando, as sombras crescentes.» Vergílio, Bucólicas, II, 67, tradução de Frederico Lourenço, Lisboa, Quetzal, 2021.

A observação que inspira o poeta é feita no final do dia e demora um quarto de hora.

O esquema da Figura 6 ilustra a situação.

Neste esquema, que não está à escala:

$[AB]$ representa uma árvore;

$[BC]$ representa a sombra da árvore no início da observação;

$[BD]$ representa a sombra da árvore no fim da observação;

$\overline{BD} = 2\,\overline{BC}$;

$\alpha$ é a amplitude, em graus, do ângulo $BAC$;

$\beta$ é a amplitude, em graus, do ângulo $BAD$.

9.2. Determine a quantos minutos do pôr do sol tem início a observação da duplicação das sombras, admitindo que $\beta = \alpha + 3{,}75^\circ$.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Na sua resolução, tenha em consideração que $\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha$ e que o Sol, no seu movimento aparente, percorre um arco de $15^\circ$ por hora.

minutos