Exame Nacional Matemática B 2021 · Época especial

1. Muitos negócios empresariais dependem de concessões de patentes relativas a invenções.

Na tabela seguinte, apresenta-se o número de pedidos de patentes de invenção, por ano, desde o ano de 2000 até ao ano de 2015, em Portugal, de acordo com dados da Pordata.

Nesta tabela, $x = 0$ corresponde a 2000, $x = 1$ corresponde a 2001, e assim sucessivamente.

Anos após o final de 2000

($x$)

Número de pedidos de patentes de invenção

($y$)

0 · 240

1 · 267

2 · 259

3 · 239

4 · 235

5 · 268

6 · 319

7 · 368

8 · 514

9 · 723

10 · 654

11 · 772

12 · 803

13 · 867

14 · 967

15 · 1178

Considere válido um modelo de regressão exponencial obtido a partir dos dados da tabela, e admita que esse modelo se manteria válido até 2019.

Estime, com base nesse modelo, o número de pedidos de patentes de invenção em 2019.

Na sua resposta, apresente:

os valores dos parâmetros do modelo de regressão exponencial ($a$ e $b$) arredondados com cinco casas decimais;

o valor pedido arredondado às unidades.

2. De acordo com o Barómetro da Organização Mundial do Turismo, consultado regularmente pelas empresas do ramo, o turismo mundial anual cresceu $3{,}9\%$ de 2016 para 2017, tendo sido atingido, no ano de 2017, o valor de $1{,}2$ mil milhões de turistas em todo o mundo.

Admita que, do final de 2017 em diante, durante uma década, o número anual de turistas em todo o mundo continuaria a crescer à taxa de $3{,}9\%$ ao ano.

Assim, o número anual mundial de turistas, $T$, em milhares de milhão, em função do tempo, $n$, em anos, decorrido desde o final de 2017, seria dado por

$$T(n) = 1{,}2 \times 1{,}039^n\,, \quad \text{com } n \in \{1, 2, \dots, 10\}$$

2.1.

Determine, de acordo com o modelo apresentado, o número anual de turistas em todo o mundo em 2019.

Apresente o resultado em milhares de milhão, arredondado às décimas.

2.2.

Determine, de acordo com o modelo apresentado, o número total de turistas em todo o mundo de 2018 a 2026.

Apresente o resultado em milhares de milhão, arredondado às unidades.

3. Uma empresa, que realiza estudos na área da nutrição, publicou um estudo sobre o valor nutricional de onze queijos.

Na Figura 1, que não está à escala, apresentam-se:

• o diagrama de dispersão que relaciona a quantidade de gorduras, $x$, em gramas, e o valor energético, $y$, em quilocalorias, por cada $100\text{ g}$ de cada um dos queijos analisados;

• a reta de regressão linear de $y$ sobre $x$.

Sabe-se que existe uma correlação linear forte entre as variáveis $x$ e $y$.

Justifique que o valor do coeficiente de correlação linear de $y$ sobre $x$ não pode ser $-0{,}953$ nem pode ser $0{,}263$.

4. Uma empresa dedica-se à produção e comercialização de tinta.

4.1. A empresa planeia produzir dois tipos de tinta inovadora: tinta A e tinta B.

Cada litro de tinta A exige o uso de $1$ grama de pigmento-base, requer $2$ horas de trabalho de uma máquina e tem um custo de produção de $11$ euros.

Cada litro de tinta B exige o uso de $2$ gramas de pigmento-base, requer $1$ hora de trabalho da mesma máquina e tem um custo de produção de $31$ euros.

Para a produção destes tipos de tinta, a empresa tem de utilizar, pelo menos, $20$ gramas de pigmento-base e pode dispor de até $22$ horas de trabalho da máquina.

4.1.1.

É possível a empresa produzir $10$ litros de tinta A?

Justifique a sua resposta.

4.1.2.

Determine a quantidade de tinta A e a quantidade de tinta B, em litros, que a empresa deve produzir para que seja mínimo o custo de produção.

Na sua resposta, designe por $x$ a quantidade de tinta A, em litros, e designe por $y$ a quantidade de tinta B, em litros, e apresente:

a função objetivo;

as restrições do problema;

uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;

o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema, arredondados às décimas.

litros

litros

4. Uma empresa dedica-se à produção e comercialização de tinta.

4.2. A tinta produzida é comercializada em latas vendidas em caixas de dez unidades.

Um cliente encomendou três caixas de latas de tinta. Devido a um acidente, a entrega teve um atraso significativo, o que levou o cliente a suspeitar da existência de latas com tinta deteriorada. Tal suspeita só poderia ser confirmada abrindo latas.

Fez-se o seguinte acordo:

o cliente abriria, ao acaso, uma lata de cada uma das três caixas;

se, nas três latas abertas, pelo menos duas contivessem tinta deteriorada, a encomenda seria devolvida; caso contrário, a encomenda seria aceite pelo cliente.

Admita que, em cada uma daquelas três caixas, com dez latas cada, existe apenas uma lata com tinta deteriorada.

Determine a probabilidade de a encomenda ser devolvida pelo cliente. Apresente o resultado na forma de dízima.

5. Uma empresa dedica-se ao fabrico de embalagens e pretende produzir copos de cortiça cilíndricos. A Figura 2 é um modelo de um desses copos.

Os copos têm $330\text{ cm}^3$ de volume.

5.1.

Sejam $r$ e $h$, respetivamente, o raio da base e a altura dos copos, em centímetros, e seja $A$ a área total da superfície exterior dos copos, incluindo a base, em $\text{cm}^2$.

Mostre que $A$ pode ser dada, em função de $r$, com $r > 0$, por

$$A(r) = \frac{\pi r^3 + 660}{r}$$

Na sua resposta, considere desprezável a espessura dos copos.

Comece por mostrar que $h = \frac{330}{\pi r^2}$.

5.2.

Um dos técnicos da empresa afirmou:

«Um copo cujas dimensões minimizem a quantidade de cortiça utilizada na sua produção tem o diâmetro da base superior à altura.»

Justifique que a afirmação do técnico é verdadeira.

Na sua resposta, apresente as dimensões do copo, diâmetro da base e altura, para as quais é mínima a área total da superfície exterior, incluindo a base, de acordo com os requisitos enunciados.

Resolva o problema com recurso às capacidades gráficas da calculadora.

Note que a área total da superfície exterior dos copos, de raio $r$, é dada por $A(r) = \frac{\pi r^3 + 660}{r}$.

Apresente os valores do diâmetro da base e da altura, em centímetros, arredondados às décimas.

Em cálculos intermédios, utilize valores arredondados às centésimas.

5. Uma empresa dedica-se ao fabrico de embalagens e pretende produzir copos de cortiça cilíndricos. A Figura 2 é um modelo de um desses copos.

Os copos têm $330\text{ cm}^3$ de volume.

5.3.

Considere, agora, um copo com base de raio $1$.

Na Figura 3, está representada, em referencial ortogonal e monométrico, $xOy$, a circunferência de centro $O$ e raio $1$ que delimita a base desse copo. Está também representada a reta, $s$, que contém os pontos de intersecção dessa circunferência com o semieixo positivo das abcissas e com o semieixo positivo das ordenadas.

Determine a equação reduzida da reta $s$.

6. A fotografia da Figura 4 é de um toldo instalado no edifício de uma empresa, cujo movimento é controlado pela rotação de uma manivela.

Na Figura 5, que não está à escala, está representado um corte lateral do toldo e da manivela, de uma barra fixa na parede e de uma barra lateral de suporte. Nesta figura:

o setor circular $DBP$ representa o toldo;

$[AD]$ representa a parede;

a reta $AS$ representa o solo, que é perpendicular à parede;

a linha poligonal $KOMN$ representa a manivela;

$[AB]$ representa a barra fixa, de comprimento $a$, em metros;

$[BP]$ representa a barra lateral de suporte do toldo, de comprimento $b$, em metros;

$[BC]$ representa a posição de maior abertura do toldo, paralela ao solo;

o ponto $Q$ representa a projeção vertical do ponto $P$ no solo.

Na Figura 6, está representada, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, uma posição do braço da manivela, representado por $[OM]$, no seu movimento de rotação.

Nesta figura, $\theta$ representa a amplitude, em graus, do ângulo orientado no sentido positivo determinado pelo semieixo positivo $Ox$ e por $\dot{OM}$.

Quando $\theta = 0^\circ$, o ponto $P$, representado na Figura 5, coincide com o ponto $C$, correspondendo à abertura total do toldo; quando $\theta = 360^\circ$, o ponto $P$ coincide com o ponto $D$, correspondendo à recolha total do toldo.

A distância, $d$, em metros, do ponto $P$ ao solo, $\overline{PQ}$, é dada por

$$d(\theta) = 3 + 2\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{4}\right),\quad \text{com } 0^\circ \le \theta \le 360^\circ$$ O argumento da função seno está em graus.

6.1.

Determine o valor de $\theta$, em graus, para o qual a distância do ponto $P$ ao solo é $4$ metros.

°

6.2.

Determine o comprimento, $a$, da barra fixa e o comprimento, $b$, da barra lateral de suporte do toldo.

Apresente os resultados em metros.

Na sua resposta, poderá ser-lhe útil notar que o ponto $P$, quando $\theta = 0^\circ$, coincide com o ponto $C$ e, quando $\theta = 360^\circ$, coincide com o ponto $D$.

7. Admita que o número, $N$, de computadores de uma empresa infetados por um vírus, $t$ horas após o instante em que este foi detetado, é dado, aproximadamente, por

$$N(t) = \frac{5000}{1 + k \times 2^{-0{,}53t}}\,, \quad \text{com } t \ge 0\,,$$

em que $k$ é um número real positivo.

7.1.

Sabe-se que, no instante em que o vírus foi detetado, havia $50$ computadores da empresa infetados por esse vírus.

Determine o valor de $k$.

7.2.

A empresa tem $20\,000$ computadores.

Considere que o número aproximado de computadores da empresa não infetados pelo vírus, $t$ horas após o instante em que este foi detetado, é dado por $S(t)$.

O gráfico da função $S$ tem uma assíntota horizontal.

Escreva uma equação dessa assíntota.