Exame Nacional Matemática B 2024 · Época especial

1. O diâmetro biparietal de um feto, medido na trigésima quarta semana de gravidez, através de uma ecografia, permite calcular uma boa estimativa do perímetro cefálico do futuro recém-nascido, dado que existe uma correlação linear forte entre estas duas variáveis.

Os dados apresentados na tabela seguinte são relativos ao diâmetro biparietal, $x$, em centímetros, medido na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, $y$, em centímetros, de recém-nascidos numa maternidade.

Diâmetro biparietal

em cm

($x$)

Perímetro cefálico

em cm

($y$)

7,49 · 30,36

7,81 · 31,99

8,21 · 33,66

8,23 · 34,22

8,30 · 35,26

8,66 · 35,51

8,76 · 34,86

8,97 · 36,44

9,04 · 35,30

9,07 · 36,97

9,24 · 37,63

Considere válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$, obtido a partir dos dados apresentados na tabela.

Estime, com base neste modelo, o perímetro cefálico de um futuro recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal do feto, na trigésima quarta semana de gravidez, mede $8{,}46\text{ cm}$.

Na sua resposta, apresente:

os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, arredondados às milésimas;

o valor pedido em centímetros, arredondado às centésimas.

cm

2. O seguinte sistema de restrições é referente a um problema de programação linear.

$\begin{cases}

2x + y \le 24 \\

x + 2y \le 24 \\

x + y \le 14 \\

x \ge 0 \\

y \ge 0

\end{cases}$

Em qual das seguintes opções está representada, a sombreado, em referencial cartesiano, ortogonal e monométrico, $Oxy$, a região admissível correspondente a este sistema de restrições?

3. Admita que o número de elementos de uma população, a partir de um certo instante inicial, é bem modelado pela função definida por

$$a(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}1t}},\ \text{com } t \ge 0$$

em que $a(t)$ é o número de elementos da população, $t$ meses após o instante inicial.

3.1.

Complete o texto, de acordo com o modelo apresentado, selecionando a opção correta para cada espaço.

«No instante inicial, esta população tinha I elementos. Ao longo do tempo, o número de elementos da população é II e tenderá para III.»

I

II

III

3.2.

Determine, de acordo com o modelo apresentado, quanto tempo terá de decorrer até que o número de elementos desta população atinja $500$.

Apresente o resultado em meses, arredondado às unidades.

meses

Admita que uma abelha executa um voo em movimento retilíneo e uniforme, em frente à sua colmeia.

No esquema da Figura 1, que ilustra a situação:

o ponto $A$ representa o ponto de partida do voo da abelha, e o ponto $B$ representa o ponto de chegada;

o ponto $C$, equidistante de $A$ e $B$, representa uma entrada da colmeia.

Seja $d(t)$ a distância, em metros, entre a posição da abelha e essa entrada da colmeia, $t$ segundos após o início do voo, no percurso do ponto $A$ para o ponto $B$.

Seja $V$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $d$, para cada valor de $t$.

Na Figura 2, estão representados dois gráficos, I e II, em referencial cartesiano ortogonal.

Justifique que nem o Gráfico I nem o Gráfico II podem representar a função $V$.

Apresente uma razão para cada um dos gráficos.

1.

2.

5. Lança-se, sobre uma mesa, um dado dodecaédrico equilibrado. Cada uma das doze faces do dado está numerada com $0$, $1$ ou $2$.

Considere a variável aleatória $X$: «número da face que ficar voltada para baixo no lançamento».

A tabela seguinte apresenta a distribuição de probabilidades de $X$, em que $k$ representa um número real.

$x_i$

$0$

$1$

$2$

$P(X = x_i)$

$k$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

Complete o texto, de acordo com a distribuição de probabilidades de $X$, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II e III, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada.

«Ao lançar-se o dado, a probabilidade de uma face com número $0$ ficar voltada para baixo é igual a

.

O dado tem

face(s) com o número $2$.

O valor médio da variável aleatória $X$ é

.»

6. Na Figura 3, apresentam-se as três primeiras etapas da construção do Tapete de Sierpiński, feita a partir de um quadrado inicial (que não está representado na figura).

Nesta construção, tal como a figura sugere:

na etapa $1$, decompõe-se o quadrado inicial em $9$ quadrados iguais e remove-se o quadrado central, obtendo-se $8$ quadrados;

em cada uma das etapas seguintes, decompõe-se cada um dos quadrados obtidos na etapa anterior em $9$ quadrados iguais e remove-se os respetivos quadrados centrais.

Seja $(u_n)$ a sucessão definida por $u_n = 8^n$, que dá o número de quadrados obtidos na etapa $n$.

6.1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

6. Na Figura 3, apresentam-se as três primeiras etapas da construção do Tapete de Sierpiński, feita a partir de um quadrado inicial (que não está representado na figura).

Nesta construção, tal como a figura sugere:

na etapa $1$, decompõe-se o quadrado inicial em $9$ quadrados iguais e remove-se o quadrado central, obtendo-se $8$ quadrados;

em cada uma das etapas seguintes, decompõe-se cada um dos quadrados obtidos na etapa anterior em $9$ quadrados iguais e remove-se os respetivos quadrados centrais.

Seja $(u_n)$ a sucessão definida por $u_n = 8^n$, que dá o número de quadrados obtidos na etapa $n$.

6.2. Admita que o quadrado inicial tem $270\text{ cm}$ de lado.

Determine a área total dos quadrados obtidos na etapa $3$.

Apresente o resultado em centímetros quadrados.

cm²

Um automóvel circula num troço de autoestrada, sempre no mesmo sentido, em linha reta.

Admita que, a partir do instante em que o automóvel passa num ponto em que está localizado um radar, até ao instante em que o automóvel sai da autoestrada, a distância, $f(x)$, em quilómetros, percorrida pelo automóvel, em função do tempo decorrido, $x$, em minutos, é dada por

$$f(x) = \frac{11}{6}x - \frac{1}{3}x^2, \text{ com } 0 \le x \le 1{,}5$$

7.1. Nesta autoestrada, o limite de velocidade é de 120 quilómetros por hora.

Averigue se é cumprido o limite de velocidade no instante em que o automóvel passa pelo radar.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Um automóvel circula num troço de autoestrada, sempre no mesmo sentido, em linha reta.

Admita que, a partir do instante em que o automóvel passa num ponto em que está localizado um radar, até ao instante em que o automóvel sai da autoestrada, a distância, $f(x)$, em quilómetros, percorrida pelo automóvel, em função do tempo decorrido, $x$, em minutos, é dada por

$$f(x) = \frac{11}{6}x - \frac{1}{3}x^2, \text{ com } 0 \le x \le 1{,}5$$

7.2. Determine a distância percorrida pelo automóvel desde o instante em que passa pelo radar até ao instante em que sai da autoestrada.

Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

8. Num restaurante, a musse de chocolate é servida em dois tipos de recipientes cilíndricos, como os apresentados na Figura 4.

A base de um dos recipientes tem $10\text{ cm}$ de diâmetro, enquanto a base do outro tem $5\text{ cm}$ de diâmetro, como se representa na Figura 5, que não está à escala.

8.1. Os recipientes distinguem-se pelas dimensões da base e da altura, mas têm o mesmo volume.

O recipiente de base com maior diâmetro tem $2\text{ cm}$ de altura.

Determine a altura do outro recipiente, em centímetros.

Na sua resposta, não considere a espessura dos recipientes.

cm

8. Num restaurante, a musse de chocolate é servida em dois tipos de recipientes cilíndricos, como os apresentados na Figura 4.

A base de um dos recipientes tem $10\text{ cm}$ de diâmetro, enquanto a base do outro tem $5\text{ cm}$ de diâmetro, como se representa na Figura 5, que não está à escala.

8.2. Na Figura 6, que não está à escala, estão representadas, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, a circunferência da base de um dos recipientes e a reta de equação $y = x$.

Sabe-se que:

a circunferência tem o centro na origem do referencial;

o ponto de coordenadas $(5, 0)$ pertence à circunferência;

o ponto $A$ é o ponto de intersecção da circunferência com a reta no primeiro quadrante.

No referencial, a unidade é o centímetro.

Seja $B$ o ponto simétrico de $A$, relativamente ao eixo $Ox$.

Determine os valores exatos das coordenadas do ponto $B$.

Recorrendo a modelos trigonométricos, é possível prever a altura da maré (altura da água do mar relativamente ao Zero Hidrográfico), num determinado local.

As expressões «preia-mar» e «baixa-mar» designam, respetivamente, um valor máximo e um valor mínimo da altura da maré.

De acordo com as previsões do Instituto Hidrográfico para o dia 25 de abril de 2024, a altura da maré, no porto de Sesimbra, entre as 16h 18min e as 22h 23min, instantes em que ocorrem dois valores extremos da altura da maré consecutivos, é dada, aproximadamente, por

$$h(t) = 2 + 1{,}2 \cos\left(\frac{\pi}{6{,}08} t\right)$$

em que $h(t)$ é a altura da maré, em metros, $t$ horas após as 16h 18min desse dia, até às 22h 23min do mesmo dia.

O argumento da função cosseno está em radianos.

9.1. A que horas é que a altura da maré terá sido de $1{,}5$ metros, naquele intervalo de tempo do dia 25 de abril de 2024, de acordo com o modelo apresentado?

Apresente o valor pedido em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

h

min

Recorrendo a modelos trigonométricos, é possível prever a altura da maré (altura da água do mar relativamente ao Zero Hidrográfico), num determinado local.

As expressões «preia-mar» e «baixa-mar» designam, respetivamente, um valor máximo e um valor mínimo da altura da maré.

De acordo com as previsões do Instituto Hidrográfico para o dia 25 de abril de 2024, a altura da maré, no porto de Sesimbra, entre as 16h 18min e as 22h 23min, instantes em que ocorrem dois valores extremos da altura da maré consecutivos, é dada, aproximadamente, por

$$h(t) = 2 + 1{,}2 \cos\left(\frac{\pi}{6{,}08} t\right)$$

em que $h(t)$ é a altura da maré, em metros, $t$ horas após as 16h 18min desse dia, até às 22h 23min do mesmo dia.

O argumento da função cosseno está em radianos.

9.2. Determine, de acordo com o modelo apresentado, a taxa média de variação da altura da maré, no intervalo de tempo decorrido entre as referidas preia-mar e baixa-mar do dia 25 de abril de 2024.

Apresente o valor pedido em metros por hora, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

m/h