Aufgabe CAS 1 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

2 Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ P. Diese kann für $x \ge 0$ mithilfe der gegebenen Funktion $f_4$ beschrieben werden.

a

Weisen Sie nach, dass die Flugweite etwa $5{,}46\text{ m}$ beträgt. [2 BE]

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von $6{,}3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ kann die momentane Höhe des Papierfliegers modellhaft durch $y(t) = -5t^2 + 4{,}45t + 2$ und seine momentane Geschwindigkeit näherungsweise durch $v(t) = \sqrt{100t^2 - 89t + 40}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit dem Abwurf vergangene Zeit in Sekunden, $y(t)$ die Höhe in Metern und $v(t)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

b

Weisen Sie auf der Grundlage dieses Modells nach, dass die Flugzeit etwa $1{,}22\text{ s}$ beträgt. [2 BE]