Abitur NRW Mathematik 2018 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebene $E: x_2 - 3x_3 = -19$ sowie die Punkte $P(1|2|2)$, $Q(1|-1|11)$ und $S(-2|-4|5)$.

a

Zeigen Sie, dass $S$ in der Ebene $E$ liegt.

b

Weisen Sie nach, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ senkrecht zu $E$ steht.

c

Die Punkte $P$ und $Q$ haben den gleichen Abstand von der Ebene $E$. Die Punkte $S$ und $P$ legen die Gerade $g$ fest. Spiegelt man $g$ an $E$, so erhält man die Gerade $h$. Geben Sie eine Gleichung von $h$ an.

Gegeben sind die Ebene $E: x_2 - 3x_3 = -19$ sowie die Punkte $P(1|2|2)$, $Q(1|-1|11)$ und $S(-2|-4|5)$.

Gegeben sind die Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$

und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an. Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.

b)

Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

Der Punkt $P(0 \mid 1 \mid 5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$.

a

Begründen Sie, dass das Quadrat in der yz-Ebene liegt.

b

Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$, der Punkt $Q(0 \mid 8 \mid 4)$ in der yz-Ebene. Zeigen Sie, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.