Aufgabe CAS 2 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

2

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Konzentration der Glukose im Blut, ständig zu messen.

Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \le x \le 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter ($\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$). Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.

b

Berechnen Sie für den betrachteten Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt. [4 BE]

c

Veranschaulichen Sie jeden der folgenden Terme in der Abbildung durch eine Gerade und geben Sie jeweils die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an: [4 BE]

Term I:

$$\frac{f(100) - f(20)}{100 - 20}$$

Term II:

$$\lim_{x \to 60} \frac{f(60) - f(x)}{60 - x}$$

d

Ermitteln Sie für den betrachteten Zeitraum, wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen $-0{,}3\,\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{dl}}$ pro Minute und $+0{,}3\,\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{dl}}$ pro Minute lag. [4 BE]

Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:

Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.

Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen$$h_k: x \mapsto 50 - 50 \cdot (k \cdot x + 1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot x}\quad \text{mit } k \in \mathbb{R}^+$$betrachtet werden.

f

Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von $h_k$ für den Zeitpunkt $0$ ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die $f$ für den Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert. [2 BE]