Aufgabe CAS 1 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_r$ mit $f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2$ und $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

e)

Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_r$ in Abhängigkeit von $r$.

Für $r > -2$ und $r \neq 0$ sind $A_r(2 - \sqrt{4+2r} \mid 0)$, $B_r(2 + \sqrt{4+2r} \mid 0)$ und $C(4 \mid 2)$ Punkte des Graphen von $f_r$. Es soll untersucht werden, für welche Werte von $r$ das Dreieck $A_r B_r C$ rechtwinklig ist.

f)

Begründen Sie jede der beiden folgenden Aussagen:

Weder bei $A_r$ noch bei $B_r$ kann ein rechter Winkel liegen.

Für $-2 < r < 0$ ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

g)

Jeder der beiden folgenden Ansätze liefert die gesuchten Werte von $r$:

$$\begin{pmatrix} -\sqrt{4+2r} - 2 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{4+2r} - 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$$

$$\frac{2}{2 + \sqrt{4+2r}} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{4+2r}} = -1$$

Erläutern Sie die beiden Ansätze.