Exame Nacional Matemática B 2026 · 2.ª fase

1. Com o objetivo de adquirir um automóvel usado, um utilizador consultou uma plataforma de venda de automóveis usados e obteve a quilometragem de cada automóvel pesquisado, isto é, os quilómetros já percorridos pelo automóvel, e o correspondente preço de venda, em milhares de euros.

Os valores obtidos são os que se apresentam na Tabela 1.

Tabela 1

Quilometragem

(em milhares de quilómetros)

$(x)$

Preço de venda

(em milhares de euros)

$(y)$

111,0 · 12,7

97,0 · 13,0

78,7 · 13,3

85,8 · 13,2

74,4 · 13,3

90,0 · 13,1

120,0 · 12,5

117,6 · 12,6

Admita como válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$, obtido a partir dos dados apresentados na Tabela 1.

Estime, com base nesse modelo, o preço de venda de um automóvel com $100$ milhares de quilómetros.

Na sua resposta, apresente:

os valores estimados dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, arredondados às milésimas;

o valor pedido, em milhares de euros, arredondado às décimas.

milhares de euros

2. Um banco disponibiliza uma solução de poupança, com taxa de juro anual de $1{,}2\%$, na modalidade de juro simples, ou seja, numa modalidade em que o valor do juro é sempre calculado, anualmente, sobre o capital inicial.

O João depositou um capital inicial de $2000$ euros neste banco, para rentabilizar de acordo com esta solução de poupança.

Quantos anos têm de decorrer, no mínimo, para o João obter um capital final superior a $2500$ euros?

3. No dia 5 de outubro de 2025, celebrou-se a 100.ª edição da Travessia da Baía de Sesimbra.

3.1. Nesse dia, realizou-se uma prova federada de natação em águas abertas, de 2500 metros, que contabiliza para o circuito nacional feminino, em que participaram 85 nadadoras. Os tempos, em minutos, que as nadadoras demoraram a concluir a prova foram organizados em classes e representados no histograma da Figura 1.

3.1. Nesse dia, realizou-se uma prova federada de natação em águas abertas, de 2500 metros, que contabiliza para o circuito nacional feminino, em que participaram 85 nadadoras. Os tempos, em minutos, que as nadadoras demoraram a concluir a prova foram organizados em classes e representados no histograma da Figura 1.

3.1.1.

Qual é o valor, arredondado às unidades, da percentagem de nadadoras que concluíram a prova em menos de 50 minutos?

3.1.2.

Determine, de acordo com o histograma da Figura 1, a média dos tempos que as nadadoras demoraram a concluir a prova.

Apresente o valor pedido em minutos, arredondado às unidades.

min

3. No dia 5 de outubro de 2025, celebrou-se a 100.ª edição da Travessia da Baía de Sesimbra.

3.1. Nesse dia, realizou-se uma prova federada de natação em águas abertas, de 2500 metros, que contabiliza para o circuito nacional feminino, em que participaram 85 nadadoras. Os tempos, em minutos, que as nadadoras demoraram a concluir a prova foram organizados em classes e representados no histograma da Figura 1.

3.2. Na Figura 2, está representado um esquema relativo a uma parte da prova, realizada por uma das nadadoras, num percurso entre duas boias, em linha reta.

Nesse esquema:

$[PC]$ representa o percurso retilíneo;

o ponto $P$ representa a primeira boia, ponto inicial desse percurso;

o ponto $C$ representa a segunda boia, ponto final desse percurso;

o ponto $E$ representa a localização de um espectador que se encontra na praia, a assistir à prova, à mesma distância dos pontos $P$ e $C$.

Admita que a nadadora fez esta parte da prova a uma velocidade constante.

Seja $d(t)$ a distância, em metros, entre a posição da nadadora e o espectador, $t$ minutos após o início do percurso entre $P$ e $C$.

Seja $I$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $d$ para cada valor de $t$.

Na Figura 3, estão representados os gráficos A e B de duas funções, em referencial ortogonal $Oxy$.

Justifique que nem o Gráfico A nem o Gráfico B podem representar a função $I$.

Apresente uma justificação para cada um dos gráficos.

3.3. Ao largo de Sesimbra, são realizados cursos de mergulho com garrafas de ar comprimido.

Nestes mergulhos, as regras de segurança para a subida à superfície ditam que, entre outros cuidados, esta pode ser feita de forma contínua e gradual, desde que seja efetuada uma paragem de segurança.

Durante um curso, dois mergulhadores, o André e a Beatriz, iniciaram a subida no mesmo instante e efetuaram a paragem de segurança a $3\text{ metros}$ de profundidade.

Sabe-se que:

quando iniciaram a subida, os mergulhadores encontravam-se à profundidade de $24{,}5\text{ metros}$;

o André demorou $2{,}5\text{ minutos}$ até efetuar a paragem de segurança;

a taxa média de variação da profundidade na subida da Beatriz até efetuar a paragem de segurança foi de $-9{,}6\text{ metros por minuto}$.

Qual dos dois mergulhadores, André ou Beatriz, foi o primeiro a fazer a paragem de segurança?

Justifique a sua resposta.

Beatriz

André

4. Uma fábrica de embalagens quer projetar caixas abertas (sem tampa), com a forma de prisma quadrangular regular reto, a partir de uma folha de cartão quadrada com $40\text{ cm}$ de lado.

Para projetar uma dessas caixas, desenham-se quadrados geometricamente iguais, de lado $a$, em cada um dos quatro cantos da folha e, em seguida, após se retirarem esses quadrados, dobram-se as abas laterais da caixa para cima, pelos lados desses quadrados, como se representa na Figura 4, sendo $[ABCD]$ a base da caixa.

Considere a função $V$ definida por

$$V(a) = 4a^3 - 160a^2 + 1600a\text{, com } 0 < a < 20$$

em que $V(a)$ é o volume da caixa, em centímetros cúbicos, para cada valor da altura da caixa, $a$, em centímetros.

4.1.

Determine o volume da caixa quando a altura é igual a $12\text{ cm}$.

Apresente o valor pedido em centímetros cúbicos.

4.2.

Qual dos seguintes valores pode ser o comprimento da aresta $[AB]$ quando o volume da caixa é igual a $4000\text{ cm}^3$?

()

4. Uma fábrica de embalagens quer projetar caixas abertas (sem tampa), com a forma de prisma quadrangular regular reto, a partir de uma folha de cartão quadrada com $40\text{ cm}$ de lado.

Para projetar uma dessas caixas, desenham-se quadrados geometricamente iguais, de lado $a$, em cada um dos quatro cantos da folha e, em seguida, após se retirarem esses quadrados, dobram-se as abas laterais da caixa para cima, pelos lados desses quadrados, como se representa na Figura 4, sendo $[ABCD]$ a base da caixa.

Considere a função $V$ definida por

$$V(a) = 4a^3 - 160a^2 + 1600a\text{, com } 0 < a < 20$$

em que $V(a)$ é o volume da caixa, em centímetros cúbicos, para cada valor da altura da caixa, $a$, em centímetros.

Na Figura 5, está representada uma das caixas construídas pela fábrica, por um prisma quadrangular regular reto, $[ABCDEFGH]$, em referencial ortogonal e monométrico $Oxyz$, cuja unidade é o centímetro.

Sabe-se que:

a face $[ABCD]$ está contida no plano $xOy$ e tem centro na origem do referencial;

as arestas $[BC]$ e $[AB]$ são paralelas aos eixos $Ox$ e $Oy$, respetivamente;

o vértice $B$ tem abcissa e ordenada positivas;

a reta $FG$ é definida por $y = 15 \land z = 5$.

Qual dos seguintes ternos ordenados corresponde às coordenadas do vértice $E$?

()

5. Nas eleições legislativas de 2025, num certo distrito, foram atribuídos três mandatos para o exercício da função de deputado na Assembleia da República Portuguesa.

O apuramento dos resultados, por aplicação do método de Hondt, fez-se de acordo com a Tabela 2, em que se apresentam apenas os quatro partidos mais votados e em que os valores dos quocientes estão arredondados às unidades.

De acordo com a Tabela 2, foram atribuídos dois mandatos ao Partido A e um mandato ao Partido B.

Averigue se seria obtida a mesma distribuição de mandatos, caso se aplicasse o método de Sainte-Laguë.

Num jantar de aniversário, os convidados podem optar por comer peixe ou carne, para prato principal.

Sabe-se que:

60% dos convidados são adultos;

$\frac{11}{20}$ dos convidados pedem carne para prato principal;

metade dos adultos pedem peixe para prato principal.

6.1. No jantar, estão $24$ crianças.

Determine o número de convidados presentes no jantar.

Num jantar de aniversário, os convidados podem optar por comer peixe ou carne, para prato principal.

Sabe-se que:

60% dos convidados são adultos;

$\frac{11}{20}$ dos convidados pedem carne para prato principal;

metade dos adultos pedem peixe para prato principal.

6.2. Sorteia-se, ao acaso, o nome de um dos convidados.

Determine a probabilidade de o convidado sorteado ser adulto, sabendo que pediu peixe para prato principal.

Apresente o valor pedido na forma de fração irredutível.

Na sua resolução, represente por $A$ o acontecimento «O convidado é adulto», e por $B$ o acontecimento «O convidado pediu peixe para prato principal».

7. Um arquiteto está a elaborar um projeto para o espaço exterior plano de um empreendimento turístico.

7.1. O projeto inclui um canteiro cuja planta, vista de cima, tem a forma representada no esquema da Figura 6. O esquema é retangular e tem uma região sombreada, limitada por dois arcos de parábola.

Para obter os arcos de parábola, o arquiteto recorreu às funções quadráticas definidas por$$f(x) = -0,25x^2 + 0,5x + 3,75 \quad \text{e por} \quad g(x) = 0,25x^2 - 1,5x + 1,25$$Na Figura 7, que não está à escala, estão representados, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, cuja unidade é o metro, arcos de parábola contidos nos gráficos das funções $f$ e $g$ e o retângulo $[ABCD]$, que delimita o esquema.

Como a Figura 7 sugere:

cada lado do retângulo é paralelo a um eixo coordenado;

cada um dos lados do retângulo, paralelos ao eixo $Ox$, contém um vértice de uma parábola;

cada um dos lados do retângulo, paralelos ao eixo $Oy$, contém um ponto de intersecção dos gráficos das funções $f$ e $g$.

Determine a área do retângulo $[ABCD]$.

7.2. Num dos jardins planos do empreendimento turístico, estão já plantadas duas árvores, e pretende-se plantar uma terceira, para que as três árvores fiquem em linha reta.

Fixado, no plano, um referencial cartesiano ortogonal e monométrico, $Oxy$, a posição das duas árvores já plantadas corresponde aos pontos $P(40, 0)$ e $Q(0, 30)$.

Sabe-se que a terceira árvore será plantada num ponto de abcissa $13$.

Determine, relativamente ao referencial fixado, a ordenada do ponto correspondente à posição da terceira árvore.

Na sua resolução, comece por determinar a equação reduzida da reta $PQ$.