Exame Nacional Matemática B 2021 · 2.ª fase

1. Um barco de pesca captura três espécies de peixe: cavala, sardinha e carapau.

Numa pescaria, foram pescados $640\text{ kg}$ de cavala, $240\text{ kg}$ de sardinha e $390\text{ kg}$ de carapau.

O peixe é vendido em lotes de dois tipos: A e B.

Cada lote A é constituído por $40\text{ kg}$ de cavala, $4\text{ kg}$ de sardinha e $20\text{ kg}$ de carapau.

Cada lote B é constituído por $16\text{ kg}$ de cavala, $12\text{ kg}$ de sardinha e $15\text{ kg}$ de carapau.

Cada lote A é vendido a $180\text{ euros}$ e cada lote B é vendido a $160\text{ euros}$.

Determine o número de lotes A e o número de lotes B que se devem vender, de modo a obter o valor máximo com a venda desses lotes, nas condições referidas.

Na sua resposta, designe por $x$ o número de lotes A e por $y$ o número de lotes B a vender, e apresente:

a função objetivo;

as restrições do problema;

uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;

o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema.

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2. Num estudo sobre uma população de carapaus, concluiu-se que o comprimento, $C$, em centímetros, de um carapau dessa população é dado, em função de $t$, aproximadamente, por

$$C(t) = 42(1 - e^{-0{,}1056t - 0{,}4222})\, \quad \text{com } t \ge 1$$

em que $t$ representa a idade, em anos, do carapau.

2.1.

De acordo com o modelo apresentado, quantos centímetros cresce um carapau dessa população durante o segundo ano de vida?

Apresente o resultado arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

2.2.

Admita que a massa, $M$, em gramas, de um carapau dessa população, com $C$ centímetros de comprimento, é dada, aproximadamente, por

$$M(C) = 0{,}0084 \times C^3\, \quad \text{com } C \ge 18$$

Determine a idade de um carapau dessa população cuja massa é $400\text{ gramas}$, de acordo com os dois modelos apresentados.

Apresente o resultado em anos e meses, com o número de meses arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

anos e meses

Ao largo da costa portuguesa, perto de Viana do Castelo, está em desenvolvimento um dos maiores parques flutuantes do mundo para captação de energia eólica. A central deste parque começou a injetar energia na rede elétrica no final de 2019.

A potência útil de uma torre eólica depende, entre outros fatores, da velocidade do vento. Devido a questões técnicas, a partir de um determinado valor da velocidade do vento, por mais que esta aumente, não se permite que a potência aumente, estabilizando-a num determinado valor, para que seja possível injetar a energia gerada na rede elétrica.

O gráfico representado na Figura 1 relaciona a potência útil, $P$, em $\text{kW}$, de uma torre eólica com a velocidade, $v$, em $\text{m/s}$, do vento que faz girar as hélices da torre, para $v > 3$.

De acordo com o gráfico, a potência útil, $P$, desta torre:

é crescente até $3000\text{ kW}$, para valores da velocidade do vento a partir de $3\text{ m/s}$ até um determinado valor, $N$, do qual se sabe ser superior a $15\text{ m/s}$;

é igual a $3000\text{ kW}$, para valores da velocidade do vento a partir de $N$.

Admita que, para $3 < v \le N$, a potência útil, $P$, em $\text{kW}$, é dada por

$$P(v) = -2{,}731\,v^3 + 77{,}834\,v^2 - 393{,}264\,v + 553{,}023$$

3.1.

Determine o valor de $N$.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Ao largo da costa portuguesa, perto de Viana do Castelo, está em desenvolvimento um dos maiores parques flutuantes do mundo para captação de energia eólica. A central deste parque começou a injetar energia na rede elétrica no final de 2019.

A potência útil de uma torre eólica depende, entre outros fatores, da velocidade do vento. Devido a questões técnicas, a partir de um determinado valor da velocidade do vento, por mais que esta aumente, não se permite que a potência aumente, estabilizando-a num determinado valor, para que seja possível injetar a energia gerada na rede elétrica.

O gráfico representado na Figura 1 relaciona a potência útil, $P$, em $\text{kW}$, de uma torre eólica com a velocidade, $v$, em $\text{m/s}$, do vento que faz girar as hélices da torre, para $v > 3$.

De acordo com o gráfico, a potência útil, $P$, desta torre:

é crescente até $3000\text{ kW}$, para valores da velocidade do vento a partir de $3\text{ m/s}$ até um determinado valor, $N$, do qual se sabe ser superior a $15\text{ m/s}$;

é igual a $3000\text{ kW}$, para valores da velocidade do vento a partir de $N$.

Admita que, para $3 < v \le N$, a potência útil, $P$, em $\text{kW}$, é dada por

$$P(v) = -2{,}731\,v^3 + 77{,}834\,v^2 - 393{,}264\,v + 553{,}023$$

3.2.

Determine o valor da taxa de variação média da função $P$ no intervalo $[5, 15]$ e interprete-o no contexto descrito.

Apresente o valor da taxa de variação média arredondado às unidades. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal.

3.3.

Seja $T$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $P$, para cada valor de $v$.

Qual é o valor da função $T$ quando $v > N$? Justifique a sua resposta.

4. Em Portugal, existem empresas que organizam passeios de barco pela costa. Quando estava de férias, a Mariana comprou, a uma dessas empresas, um bilhete para fazer um passeio.

4.1.

Admita que a variável aleatória, $Y$, «duração de uma viagem de autocarro desde o hotel onde a Mariana está alojada até ao ancoradouro onde se apanha o barco» segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio $20$ minutos e desvio padrão $4$ minutos.

O autocarro em que a Mariana viajou saiu do hotel às $8$ horas e $32$ minutos.

A chegada do autocarro ao ancoradouro está prevista para as $9$ horas.

Determine a probabilidade de o autocarro chegar ao ancoradouro antes da hora prevista.

Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

%

4.2.

A empresa vendeu três tipos de bilhete para o passeio de barco:

tipo 1 – só a viagem;

tipo 2 – a viagem com almoço;

tipo 3 – a viagem com almoço e audioguia.

Seja $X$ a variável aleatória «preço, em euros, de um bilhete vendido para o passeio, tomado ao acaso», cuja tabela de distribuição de probabilidades é

$x_i$

$14{,}20$

$a$

$20{,}50$

$P(X = x_i)$

$0{,}55$

$0{,}25$

$b$

em que $a$ representa o preço, em euros, de um bilhete do tipo 2 e $b$ representa um valor de probabilidade.

Sabe-se que o valor médio da variável aleatória $X$ é $16{,}76$ euros.

Determine o preço, em euros, de um bilhete do tipo 2.

euros

Uma ponte, idêntica à da fotografia da Figura 2, tem uma torre central e duas torres laterais, cada uma destas à distância de $1000$ metros da torre central. A torre central é mais alta do que as torres laterais, e estas têm a mesma altura.

Do topo da torre central para o topo de cada uma das torres laterais estão fixos, no total, $4$ cabos retilíneos iguais.

Entre cada um desses $4$ cabos e o tabuleiro da ponte, existem cabos verticais, de $25$ em $25$ metros, perpendiculares ao tabuleiro, que o sustentam.

A Figura 3, que não está à escala, representa a situação relativa a um dos $4$ cabos retilíneos fixos na torre central.

Seja $(u_n)$ a sequência dos comprimentos dos cabos verticais, do menor para o maior, relativa à Figura 3, definida por

$$u_n = 2n + 45$$ em que $n$ é a ordem do termo $u_n$ da sequência.

5.1.

Algum dos cabos verticais tem $100$ metros de comprimento?

Justifique a sua resposta.

5.2.

Determine a soma dos comprimentos de todos os cabos verticais usados para sustentar o tabuleiro da ponte.

O penúltimo rei de Portugal, D. Carlos I, era um apaixonado pela oceanografia e por barcos. Com grande talento para a pintura, deixou várias aguarelas ligadas ao mar.

A Figura 4 é uma fotografia de uma dessas aguarelas.

A partir das velas do barco da Figura 4, um desenhador está a estudar um logótipo composto por dois triângulos, que representou a sombreado, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, tal como mostra a Figura 5.

Nesta figura:

a circunferência tem centro no ponto $O$;

os pontos $A(1,0)$ e $D(-1,0)$ pertencem à circunferência;

o ponto $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[OA]$;

a reta $r$ é tangente à circunferência no ponto $A$;

os pontos $B$ e $C$ deslocam-se na reta $r$, de tal forma que $[MB]$ é sempre paralelo a $[OC]$.

Para cada posição do ponto $C$, seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $AOC$, com

$$40^\circ \le \alpha \le 70^\circ$$

A unidade de medida de comprimento é o metro.

6.1.

Mostre que a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$, em metros quadrados, é dada, em função de $\alpha$, por $$T(\alpha) = \frac{5\operatorname{tg}(\alpha)}{8}$$

6.2.

Determine o menor e o maior dos valores inteiros de $\alpha$ para os quais a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$ é superior a $1\text{ m}^2$.

Note que a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$, em metros quadrados, é dada, em função de $\alpha$, por $T(\alpha) = \frac{5\operatorname{tg}(\alpha)}{8}$.

O penúltimo rei de Portugal, D. Carlos I, era um apaixonado pela oceanografia e por barcos. Com grande talento para a pintura, deixou várias aguarelas ligadas ao mar.

A Figura 4 é uma fotografia de uma dessas aguarelas.

A partir das velas do barco da Figura 4, um desenhador está a estudar um logótipo composto por dois triângulos, que representou a sombreado, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, tal como mostra a Figura 5.

Nesta figura:

a circunferência tem centro no ponto $O$;

os pontos $A(1,0)$ e $D(-1,0)$ pertencem à circunferência;

o ponto $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[OA]$;

a reta $r$ é tangente à circunferência no ponto $A$;

os pontos $B$ e $C$ deslocam-se na reta $r$, de tal forma que $[MB]$ é sempre paralelo a $[OC]$.

Para cada posição do ponto $C$, seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $AOC$, com

$$40^\circ \le \alpha \le 70^\circ$$

A unidade de medida de comprimento é o metro.

6.3.

Considere $\alpha = 45^\circ$.

Determine a equação reduzida da reta $DC$.

Na sua resposta, comece por obter as coordenadas do ponto $C$.

7. No início do século XX, um navio aportou numa ilha com o objetivo de comprar cereais. Nessa ilha, era hábito colocar os cereais numa vasilha de forma esférica.

Um comerciante vendia vasilhas que anunciava estarem cheias com $2600\text{ dm}^3$ de cereal cada uma.

Para verificar a capacidade de uma dessas vasilhas, o comandante do navio dispunha apenas de um bloco de madeira, com a forma de um paralelepípedo, de $2\text{ dm}$ de altura, graduado na face superior, como sugere a Figura 6.

O comandante encostou o bloco de madeira à esfera, como se ilustra na Figura 7, e mediu a distância representada por $d$.

A Figura 8 é um esquema de um corte vertical que passa pelo centro da esfera e pelo ponto da esfera tangente ao solo, e que contém o ponto de contacto do bloco com a esfera.

Neste esquema, que não está à escala:

$O$ é o centro da esfera;

$[OD]$ é um raio horizontal da esfera, com $\overline{OD} = r\text{ dm}$;

$[DC]$ é perpendicular a $[OD]$;

$[OF]$ e $[EB]$ são paralelos a $[DC]$;

$[AB]$ representa a altura do bloco, com $\overline{AB} = 2\text{ dm}$;

$\overline{BC} = d = 3\text{ dm}$.

Apenas com estas duas medidas, o comandante calculou a capacidade da esfera e afirmou que a vasilha não podia conter $2600\text{ dm}^3$ de cereal.

Averigue se a afirmação do comandante estava correta.

Na sua resposta, determine a capacidade da esfera, considerando desprezável a sua espessura.