Exame Nacional Matemática B 2025 · 2.ª fase

1. Admita que, numa empresa, o custo total de produção, $C$, em euros, de um determinado produto, em função da quantidade produzida, $x$, em unidades, é dado por

$$C(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}5x^2 + 100x + 2000, \quad \text{com } 0 \le x \le 150$$

1.1.

Complete o texto, de acordo com o modelo apresentado, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II e III, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada.

«A empresa tem custos fixos de produção relativamente a este produto, isto é, custos que não dependem da quantidade produzida, no valor de I euros.

O valor máximo do custo total de produção que a empresa pode ter é de II euros.

Se a empresa produzir $10$ unidades, o custo por unidade é igual a III euros.»

1.2.

Determine o número de unidades que a empresa deve produzir, para que o custo total de produção seja de $17\,000$ euros.

Pretende-se construir um monumento de homenagem a Luís de Camões. Foram apresentados três projetos, P1, P2 e P3, tendo como base uma esquematização do livro Os Lusíadas, tal como se sugere na fotografia da Figura 1.

Na Figura 2, que não está à escala, apresenta-se um esquema de parte do monumento, em que:

$[ABEF]$ e $[BCDE]$ são retângulos geometricamente iguais;

$\overline{AB} = 3\text{ m}$, $\overline{BE} = 4\text{ m}$ e $A\hat{B}C = 60^\circ$.

Os projetos diferem no suporte de abertura do ponto $A$ ao ponto $C$, como se sugere nos esquemas da Figura 3, que não estão à escala.

2.1. No projeto P1, é proposto um suporte retilíneo, como se sugere no esquema da Figura 3.

Qual é o valor de $\overline{AC}$, em metros, nesse projeto?

()

Pretende-se construir um monumento de homenagem a Luís de Camões. Foram apresentados três projetos, P1, P2 e P3, tendo como base uma esquematização do livro Os Lusíadas, tal como se sugere na fotografia da Figura 1.

Na Figura 2, que não está à escala, apresenta-se um esquema de parte do monumento, em que:

$[ABEF]$ e $[BCDE]$ são retângulos geometricamente iguais;

$\overline{AB} = 3\text{ m}$, $\overline{BE} = 4\text{ m}$ e $A\hat{B}C = 60^\circ$.

Os projetos diferem no suporte de abertura do ponto $A$ ao ponto $C$, como se sugere nos esquemas da Figura 3, que não estão à escala.

2.2. Numa primeira seleção, decidiu-se que o monumento a construir teria um suporte de abertura em arco. Esse suporte será de ouro, e pretende-se escolher, de entre os projetos P2 e P3, aquele em que o comprimento do arco $AC$ seja menor.

Como se sugere no esquema da Figura 3:

no projeto P2, é proposto um suporte com a forma do arco de circunferência $AC$, com centro no ponto $B$ e raio $\overline{AB}$;

no projeto P3, é proposto um suporte com a forma do arco de circunferência $AC$, com centro no ponto $E$ e raio $\overline{AE}$.

Admita que $A\hat{E}C = 35^\circ$.

Qual dos dois projetos, P2 ou P3, deve ser escolhido? Justifique a sua resposta.

a)

b)

c)

d)

3. O PISA ( Programme for International Student Assessment), desenvolvido pela OCDE (Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico), é um instrumento que visa avaliar a literacia dos alunos de 15 anos em várias áreas.

3.1.

Na Tabela 1, apresentam-se as pontuações médias nas áreas da Leitura e da Matemática, obtidas pelos alunos portugueses de 15 anos, que participaram em algumas edições do PISA, em vários anos.

Tabela 1

Pontuação média em Leitura

($x$)

Pontuação média em Matemática

($y$)

470 · 454

478 · 466

472 · 466

489 · 487

488 · 487

498 · 492

492 · 492

477 · 472

Fonte: Pordata, consultado em setembro de 2024

Admita válido o modelo de regressão linear da pontuação média em Matemática, $y$, sobre a pontuação média em Leitura, $x$, obtido a partir dos dados apresentados na tabela.

Suponhamos que, num certo ano, os alunos portugueses de 15 anos que realizaram o teste obtiveram 495 de pontuação média em Leitura.

Estime, com base no modelo proposto, o correspondente valor da pontuação média em Matemática.

Na sua resposta, apresente:

os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de $y$ sobre $x$, arredondados com três casas decimais;

o valor pedido, arredondado às unidades.

3.2.

Em Portugal, no ano de 2022, o PISA foi aplicado a 6793 alunos. As competências de Leitura são classificadas em seis níveis de proficiência, que variam do nível 1 ao nível 6.

O gráfico da Figura 4 é referente aos níveis de proficiência em Leitura, em Portugal. De acordo com este gráfico:

$4{,}7\%$ dos alunos alcançaram os níveis 5 ou 6 – top performers;

$23{,}1\%$ dos alunos pontuaram abaixo do nível 2 – low performers.

Quantos alunos, aproximadamente, atingiram os níveis 2, 3 ou 4 de proficiência?

Todos os anos, a Antónia compra vários livros na Feira do Livro de Lisboa, uns para si e outros para oferecer.

Este ano, comprou 3 livros de literatura e 2 livros técnicos, todos diferentes.

A Antónia vai tirar à sorte dois desses livros para os oferecer ao Bruno.

Determine a probabilidade de a Antónia oferecer, pelo menos, um livro de literatura ao Bruno.

Apresente o valor pedido na forma de percentagem.

Numa aula de Física, procedeu-se a uma experiência, utilizando sensores, para medir os valores da velocidade de um robô num determinado trajeto.

Seja $v$ a função que faz corresponder o tempo, $t$, em segundos, durante os primeiros $120$ segundos do movimento do robô, ao respetivo valor da velocidade, em m/s.

Seja $F$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $v$ para cada valor de $t$.

Sabe-se que:

entre os $30$ segundos e os $50$ segundos, a taxa média de variação da função $v$ é um número positivo;

a partir dos $60$ segundos, a velocidade do robô é crescente.

Na Figura 5, estão representados dois gráficos, A e B, em referencial cartesiano e ortogonal.

Justifique que nem o Gráfico A nem o Gráfico B podem representar a função $F$.

Apresente uma justificação para cada um dos gráficos.

6. A Figura 6 é uma fotografia de uma tigela, datada do século XI, com a representação de uma corça, exposta no Museu de Mértola. A Figura 7 é uma representação geométrica plana da vista de cima dessa tigela.

No esquema da Figura 7, que não está à escala, podem observar-se:

duas circunferências concêntricas, de centro $O$, com diâmetros $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$;

uma linha poligonal constituída por dezasseis segmentos de reta, com igual comprimento, cujos vértices pertencem, alternadamente, a uma e outra circunferências.

Em cada uma das circunferências, os arcos de circunferência entre dois pontos consecutivos têm o mesmo comprimento.

6.1. Determine o comprimento da linha poligonal constituída pelos dezasseis segmentos de reta.

Apresente o resultado em centímetros, arredondado às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize quatro casas decimais.

cm

6. A Figura 6 é uma fotografia de uma tigela, datada do século XI, com a representação de uma corça, exposta no Museu de Mértola. A Figura 7 é uma representação geométrica plana da vista de cima dessa tigela.

No esquema da Figura 7, que não está à escala, podem observar-se:

duas circunferências concêntricas, de centro $O$, com diâmetros $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$;

uma linha poligonal constituída por dezasseis segmentos de reta, com igual comprimento, cujos vértices pertencem, alternadamente, a uma e outra circunferências.

Em cada uma das circunferências, os arcos de circunferência entre dois pontos consecutivos têm o mesmo comprimento.

6.2. Na Figura 8, está representado, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, o esquema da Figura 7, em que:

o ponto $A$ é um vértice da linha poligonal;

os pontos de intersecção da circunferãncia de diâmetro $20\text{ cm}$ com os eixos coordenados são vértices da linha poligonal.

A unidade de medida no referencial é o centímetro.

Determine as coordenadas do ponto $A$.

Apresente os valores das coordenadas arredondados às décimas.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize duas casas decimais.

$A = ($ $;$ $)$

Para medir a temperatura, podem utilizar-se diferentes escalas:

escala Celsius, em graus Celsius ($^\circ\text{C}$), utilizada, por exemplo, na Europa, na qual, em certas condições, $0\ ^\circ\text{C}$ e $100\ ^\circ\text{C}$ correspondem, respetivamente, ao ponto de congelamento e ao ponto de ebulição da água;

escala Fahrenheit, em graus Fahrenheit ($^\circ\text{F}$), utilizada, por exemplo, nos Estados Unidos da América;

escala Kelvin, em kelvin ($\text{K}$), utilizada no Sistema Internacional, em que $0\ \text{K}$ é designado «zero absoluto».

As fórmulas seguintes permitem fazer, respetivamente, conversões de valores de temperatura entre graus Celsius, $C$, e graus Fahrenheit, $F$, e entre graus Celsius, $C$, e kelvin, $K$.

$$F = 1{,}8C + 32 \qquad\qquad K = C + 273{,}15$$

7.1. Complete o texto, de acordo com os dados apresentados, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II e III, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada.

«O valor da temperatura de congelamento da água, em graus Fahrenheit, é I, e o valor da temperatura da ebulição da água, em kelvin, é II.

O zero absoluto da escala Kelvin corresponde a III graus Celsius.»

I

II

III

Para medir a temperatura, podem utilizar-se diferentes escalas:

escala Celsius, em graus Celsius ($^\circ\text{C}$), utilizada, por exemplo, na Europa, na qual, em certas condições, $0\ ^\circ\text{C}$ e $100\ ^\circ\text{C}$ correspondem, respetivamente, ao ponto de congelamento e ao ponto de ebulição da água;

escala Fahrenheit, em graus Fahrenheit ($^\circ\text{F}$), utilizada, por exemplo, nos Estados Unidos da América;

escala Kelvin, em kelvin ($\text{K}$), utilizada no Sistema Internacional, em que $0\ \text{K}$ é designado «zero absoluto».

As fórmulas seguintes permitem fazer, respetivamente, conversões de valores de temperatura entre graus Celsius, $C$, e graus Fahrenheit, $F$, e entre graus Celsius, $C$, e kelvin, $K$.

$$F = 1{,}8C + 32 \qquad\qquad K = C + 273{,}15$$

7.2. Admita que a temperatura média da superfície do Sol é $5778\ \text{K}$.

Determine, utilizando as fórmulas apresentadas, o valor da temperatura média da superfície do Sol, em graus Fahrenheit, de acordo com o valor admitido.

Apresente o valor pedido arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

°F

8. Na Figura 9, estão representados os três primeiros elementos de uma composição geométrica com hexágonos regulares, $h_1$, $h_2$ e $h_3$, em que cada hexágono, a partir do segundo, tem $\frac{1}{4}$ da área do hexágono anterior.

Considere que a área do hexágono $h_1$ é $1$.

Determine a área do sétimo hexágono desta composição geométrica.

Apresente o valor pedido na forma de fração.

9. Em Portugal, para se apurar o vencedor das eleições presidenciais, utiliza-se o método seguinte:

realiza-se uma primeira votação, na qual é eleito Presidente da República o candidato que obtiver mais de $50\%$ dos votos validamente expressos;

se tal não se verificar, realiza-se uma segunda votação em que participam apenas os dois candidatos mais votados na primeira votação, sendo eleito presidente o candidato mais votado na segunda votação.

Na Tabela 2, apresenta-se o resultado da contagem de votos validamente expressos atribuídos a cada candidato concorrente a umas eleições presidenciais, em Portugal.

Tabela 2

Candidato

A

B

C

D

N.º de votos validamente expressos

1 443 683

2 629 597

1 185 867

418 961

Justifique que, nesta eleição, foi necessária a realização da segunda votação e identifique os candidatos que nela participaram.